Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a curva definida por e o intervalo de vai de 0 até . O objetivo é calcular a área da superfície gerada ao girar essa parte da curva em torno do eixo . Para resolver isso, vamos precisar utilizar o conceito de cálculo de áreas de superfícies de revolução.

Passo 2

Para calcular a área da superfície gerada pela rotação de uma curva ao redor do eixo , usamos a fórmula:
Aqui, é a função que define a curva, e é a derivada de em relação a .

Passo 3

Primeiro, precisamos encontrar os limites de integração e . Sabemos que e que . Vamos resolver para :
Então, os limites de integração são de até .

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :

Passo 5

Substituindo e na fórmula da área:
Simplificando dentro da raiz:
Portanto:

Passo 6

Substituindo de volta na fórmula da área:

Passo 7

Integrando:

Resposta

A área da superfície obtida pela rotação da curva é .

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