Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a curva definida por
e o intervalo de
vai de 0 até
. O objetivo é calcular a área da superfície gerada ao girar essa parte da curva em torno do eixo
. Para resolver isso, vamos precisar utilizar o conceito de cálculo de áreas de superfícies de revolução.
Passo 2
Para calcular a área da superfície gerada pela rotação de uma curva ao redor do eixo
, usamos a fórmula:
Aqui,
é a função que define a curva, e
é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Primeiro, precisamos encontrar os limites de integração
e
. Sabemos que
e que
. Vamos resolver para
:
Então, os limites de integração são de
até
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Passo 5
Substituindo
e
na fórmula da área:
Simplificando dentro da raiz:
Portanto:
Passo 6
Substituindo de volta na fórmula da área:
Passo 7
Integrando:
Resposta
A área da superfície obtida pela rotação da curva é
.
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