Determine o comprimento de arco do gráfico da equação de
a
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo que pede para encontrar o comprimento do arco de uma curva definida pela equação
, entre os pontos
e
. Para isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco, que envolve derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva
entre dois pontos
e
. A fórmula é:
Aqui,
é a derivada da função em relação a
.
Passo 3
Vamos encontrar a derivada da função
. Aplicando as regras de derivação:
Passo 4
Agora, vamos substituir
na fórmula do comprimento do arco:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então:
Passo 5
Agora, temos que calcular a integral:
Essa integral pode ser complicada para resolver analiticamente, então vamos aproximar seu valor usando métodos numéricos, como a regra dos trapézios ou Simpson. Para simplificar, usarei uma aproximação aqui.
Passo 6
Calculando numericamente, obtemos:
Resposta
O comprimento do arco da curva de
a
é aproximadamente 1,979 unidades.
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.