Determine o comprimento de arco do gráfico da equação de a

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo que pede para encontrar o comprimento do arco de uma curva definida pela equação , entre os pontos e . Para isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco, que envolve derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva entre dois pontos e . A fórmula é:
Aqui, é a derivada da função em relação a .

Passo 3

Vamos encontrar a derivada da função . Aplicando as regras de derivação:

Passo 4

Agora, vamos substituir na fórmula do comprimento do arco:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então:

Passo 5

Agora, temos que calcular a integral:
Essa integral pode ser complicada para resolver analiticamente, então vamos aproximar seu valor usando métodos numéricos, como a regra dos trapézios ou Simpson. Para simplificar, usarei uma aproximação aqui.

Passo 6

Calculando numericamente, obtemos:

Resposta

O comprimento do arco da curva de a é aproximadamente 1,979 unidades.

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