Determine o comprimento de arco do gráfico da equação de a

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do arco do gráfico da função entre os pontos e . Isso significa calcular quanto de “linha” tem entre esses dois pontos na curva. Para fazer isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco em cálculo, que envolve integrar uma função que descreve a curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de um arco de uma função entre dois pontos e . A fórmula é:
Aqui, é a derivada de em relação a , que nos dá a inclinação da curva em cada ponto.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de em relação a . Primeiro, reescrevemos a função para facilitar a derivação:
A derivada de em relação a é:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular :
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, substituímos tudo na fórmula do comprimento do arco:
Podemos tirar o fora da integral:

Passo 6

Vamos resolver a integral . Para isso, fazemos uma substituição:
Seja , então ou .
Substituindo na integral:
Voltando para :

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 4:
Calculando dentro dos parênteses:
Para :
Para :
Então:

Resposta

O comprimento do arco do gráfico da função entre os pontos e é:

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