Determine o comprimento de arco do gráfico da equação de
a
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do arco do gráfico da função
entre os pontos
e
. Isso significa calcular quanto de “linha” tem entre esses dois pontos na curva. Para fazer isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco em cálculo, que envolve integrar uma função que descreve a curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de um arco de uma função
entre dois pontos
e
. A fórmula é:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
, que nos dá a inclinação da curva em cada ponto.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de
em relação a
. Primeiro, reescrevemos a função para facilitar a derivação:
A derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular
:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, substituímos tudo na fórmula do comprimento do arco:
Podemos tirar o
fora da integral:
Passo 6
Vamos resolver a integral
. Para isso, fazemos uma substituição:
Seja
, então
ou
.
Substituindo na integral:
Voltando para
:
Passo 7
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 4:
Calculando dentro dos parênteses:
Para
:
Para
:
Então:
Resposta
O comprimento do arco do gráfico da função
entre os pontos
e
é:
Exercícios relacionados
Determine o comprimento de arco do gráfico da equação de
a
Descida qual é o menor dos dois números dados:
e
Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo
.
Reescreva as expressões usando as propriedades indicadas: Distributiva: