Calcule a área da superfície e o volume de um prisma hexagonal regular cujo apotema da base mede 4 raiz de 3.

Passo 1

Beleza! Temos um prisma hexagonal regular e queremos calcular a área da superfície e o volume dele. O apótema da base desse prisma mede 4raiz3. Vamos usar conceitos de geometria sobre prismas e polígonos regulares para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um apótema. Em um polígono regular, o apótema é a distância do centro até o meio de um lado. No caso de um hexágono regular, isso nos ajuda a encontrar o lado do hexágono.
A fórmula que relaciona o apótema $ a $ e o lado $ l $ de um hexágono regular é:
a
Então, podemos rearranjar para encontrar o lado:
l
Substituindo $ a = 4\sqrt{3} $:
a = l cdot raiz32
Então, cada lado do hexágono mede 8 unidades.

Passo 3

Agora que sabemos o lado do hexágono, podemos calcular o perímetro $ P $ da base. Como um hexágono tem 6 lados:
P
O perímetro da base é 48 unidades.

Passo 4

Com o perímetro e o apótema, podemos calcular a área da base $ A $ do hexágono usando a fórmula:
A
Substituindo os valores:
A = P times a2
Então, a área da base é A = 48 times 4raiz32 = 192raiz32 = 96raiz3 unidades quadradas.

Passo 5

Para calcular a área da superfície do prisma, precisamos considerar as duas bases e as faces laterais. A área da superfície $ S $ é dada por:
S
Onde:
  • $ A $ é a área da base ( S = 2 times A + P times h )
  • $ P $ é o perímetro da base (48)
  • $ h $ é a altura do prisma
No entanto, o problema não nos dá a altura do prisma diretamente. Vamos assumir que a altura do prisma também seja A unidades para prosseguir.

Passo 6

Com $ h = 4\sqrt{3} $, substituímos na fórmula da área da superfície:
h = 4raiz3
Então, a área da superfície do prisma é S = 2 times 96raiz3 + 48 times 4raiz3 = 192raiz3 + 192raiz3 = 384raiz3 unidades quadradas.

Passo 7

Agora, vamos calcular o volume $ V $ do prisma. A fórmula para o volume é:
V
Substituindo os valores:
V = A times h
Então, o volume do prisma é 1152 unidades cúbicas.

Resposta

A área da superfície do prisma hexagonal regular é 384raiz3 unidades quadradas e o volume é 1152 unidades cúbicas.

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