Calcule a área da superfície e o volume de um prisma hexagonal regular cujo apotema da base mede 4 raiz de 3.
Passo 1
Beleza! Temos um prisma hexagonal regular e queremos calcular a área da superfície e o volume dele. O apótema da base desse prisma mede
. Vamos usar conceitos de geometria sobre prismas e polígonos regulares para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um apótema. Em um polígono regular, o apótema é a distância do centro até o meio de um lado. No caso de um hexágono regular, isso nos ajuda a encontrar o lado do hexágono.
A fórmula que relaciona o apótema $ a $ e o lado $ l $ de um hexágono regular é:
Então, podemos rearranjar para encontrar o lado:
Substituindo $ a = 4\sqrt{3} $:
Então, cada lado do hexágono mede 8 unidades.
Passo 3
Agora que sabemos o lado do hexágono, podemos calcular o perímetro $ P $ da base. Como um hexágono tem 6 lados:
O perímetro da base é 48 unidades.
Passo 4
Com o perímetro e o apótema, podemos calcular a área da base $ A $ do hexágono usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Então, a área da base é
unidades quadradas.
Passo 5
Para calcular a área da superfície do prisma, precisamos considerar as duas bases e as faces laterais. A área da superfície $ S $ é dada por:
Onde:
- $ A $ é a área da base (
) - $ P $ é o perímetro da base (48)
- $ h $ é a altura do prisma
No entanto, o problema não nos dá a altura do prisma diretamente. Vamos assumir que a altura do prisma também seja
unidades para prosseguir.
Passo 6
Com $ h = 4\sqrt{3} $, substituímos na fórmula da área da superfície:
Então, a área da superfície do prisma é
unidades quadradas.
Passo 7
Agora, vamos calcular o volume $ V $ do prisma. A fórmula para o volume é:
Substituindo os valores:
Então, o volume do prisma é 1152 unidades cúbicas.
Resposta
A área da superfície do prisma hexagonal regular é
unidades quadradas e o volume é 1152 unidades cúbicas.