Seja o vetor v=( 2, -1, 1), obter: um vetor ortogonal ao vetor v; um vetor unitário ortogonal ao vetor v; um vetor de módulo 4 ortogonal ao vetor v.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão que temos é sobre vetores e ortogonalidade. Especificamente, você precisa encontrar:
- Um vetor que seja ortogonal ao vetor $ \mathbf{v} = (2, -1, 1) $.
- Um vetor unitário (ou seja, com módulo 1) que também seja ortogonal a $ \mathbf{v} $.
- Um vetor com módulo igual a 4 que seja ortogonal a $ \mathbf{v} $.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como produto escalar e normalização de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa dois vetores serem ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for igual a zero. O produto escalar de $ \mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3) $ e $ \mathbf{w} = (w_1, w_2, w_3) $ é dado por:
Então, precisamos encontrar um vetor $ \mathbf{w} = (w_1, w_2, w_3) $ que satisfaça:
Passo 3
Vamos escolher valores para dois dos componentes de $ \mathbf{w} $ e resolver para o terceiro. Por exemplo, suponha que $ w_1 = 1 $ e $ w_2 = 2 $. Substituindo na equação:
Então, um vetor ortogonal a $ \mathbf{v} $ é $ \mathbf{w} = (1, 2, 0) $.
Passo 4
Agora, queremos um vetor unitário ortogonal a $ \mathbf{v} $. Para isso, pegamos o vetor que encontramos anteriormente, $ \mathbf{w} = (1, 2, 0) $, e normalizamos ele. A normalização envolve dividir cada componente do vetor pelo seu módulo.
Primeiro, calculamos o módulo de $ \mathbf{w} $:
Então, o vetor unitário $ \mathbf{u} $ é:
Passo 5
Por último, queremos um vetor de módulo 4 que seja ortogonal a $ \mathbf{v} $. Podemos simplesmente multiplicar o vetor unitário $ \mathbf{u} $ que encontramos pelo módulo desejado.
Resposta
- Um vetor ortogonal a $ \mathbf{v} $ é $ \mathbf{w} = (1, 2, 0) $.
- Um vetor unitário ortogonal a $ \mathbf{v} $ é $ \mathbf{u} = \left( \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}}, 0 \right) $.
- Um vetor de módulo 4 ortogonal a $ \mathbf{v} $ é $ \mathbf{w}_4 = \left( \frac{4}{\sqrt{5}}, \frac{8}{\sqrt{5}}, 0 \right) $.