Calcule a área do triângulo com vértices P(1,4,6), Q(-2,5,-1) e R(1,-1,1)
Passo 1
Vamos resolver o problema de calcular a área de um triângulo no espaço tridimensional. Para isso, vamos utilizar conceitos de Álgebra Vetorial, especificamente o produto vetorial. Precisaremos das coordenadas dos vértices do triângulo para determinar os vetores que formam os lados e, em seguida, aplicar o produto vetorial para encontrar a área.
Passo 2
Primeiro, identificamos os três vértices do triângulo: $ P(1,4,6) $, $ Q(-2,5,-1) $ e $ R(1,-1,1) $.
Passo 3
Em seguida, calculamos os vetores que representam os lados do triângulo a partir de um ponto de referência, por exemplo, de $ P $ para $ Q $ e de $ P $ para $ R $. Esses vetores são:
Passo 4
Agora, para encontrar a área do triângulo, usamos o produto vetorial dos vetores $ \vec{PQ} $ e $ \vec{PR} $. O produto vetorial de dois vetores resulta em um terceiro vetor perpendicular aos dois vetores originais, e a magnitude desse vetor é igual à área do paralelogramo formado por $ \vec{PQ} $ e $ \vec{PR} $. Como queremos a área do triângulo, que é metade do paralelogramo, vamos dividir a magnitude por 2.
O produto vetorial é calculado da seguinte forma:
Expandindo o determinante:
PR
Simplificando:
PQ
Passo 5
Agora, calculamos a magnitude do vetor resultante do produto vetorial: