A equação da reta tangente à curva f(x) =x² no ponto de abscissa igual a 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação da reta tangente à curva $ f(x) = x^2 $ no ponto onde a abscissa (o valor de $ x $) é igual a 3. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico de uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o ponto na curva onde $ x = 3 $. A função é $ f(x) = x^2 $, então basta substituir $ x $ por 3 para encontrar a coordenada $ y $.
x = 3
Então, o ponto de tangência é $ (3, 9) $.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de $ f(x) = x^2 $, que nos dá a inclinação da curva em qualquer ponto $ x $. A derivada de $ x^2 $ é:
f(x) = x^2

Passo 4

Vamos determinar a inclinação da reta tangente no ponto onde $ x = 3 $ substituindo esse valor na derivada:
x = 3
Então, a inclinação $ m $ da reta tangente é 6.

Passo 5

Com o ponto de tangência $ (3, 9) $ e a inclinação $ m = 6 $, podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
(3, 9)
Substituindo os valores:
m = 6

Passo 6

Vamos simplificar essa equação para a forma mais comum $ y = mx + b $:
y = mx + b
y - 9 = 6x - 18
y = 6x - 18 + 9

Resposta

A equação da reta tangente à curva $ f(x) = x^2 $ no ponto de abscissa igual a 3 é:
f(x) = x^2

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