Para que valores de k a equação 2x²+4x+5k=0 tem raizes reais e diferentes?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação quadrática: 2x² + 4x + 5k = 0². Nosso objetivo é descobrir para quais valores de k essa equação tem raízes reais e diferentes. Para isso, vamos usar o conteúdo de equações quadráticas e, mais especificamente, o discriminante, que nos ajuda a analisar as raízes da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa equação quadrática na forma padrão ax² + bx + c = 0². No nosso caso:
  • a = 2
  • b = 4
  • c = 5k

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o discriminante. O discriminante é a parte da fórmula de Bhaskara dentro da raiz quadrada, ou seja, $ \Delta = b² - 4ac $. Ele nos diz o tipo de raízes que a equação tem:
  • Se $ \Delta > 0 $, as raízes são reais e diferentes.
  • Se $ \Delta = 0 $, as raízes são reais e iguais.
  • Se $ \Delta < 0 $, as raízes são complexas.

Passo 4

Queremos que as raízes sejam reais e diferentes, então precisamos que $ \Delta > 0 $. Vamos calcular o discriminante da nossa equação:
De 0 ²²

Passo 5

Simplificando a expressão do discriminante:
De
Para que as raízes sejam reais e diferentes, temos:
16 - 40k > 0
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de k:
16 > 40k
k < 1640
k < 25

Resposta

A equação 2x² + 4x + 5k = 0² tem raízes reais e diferentes para todos os valores de k que são menores que 25.

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