Para que valores de k a equação 2x²+4x+5k=0 tem raizes reais e diferentes?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação quadrática:
. Nosso objetivo é descobrir para quais valores de
essa equação tem raízes reais e diferentes. Para isso, vamos usar o conteúdo de equações quadráticas e, mais especificamente, o discriminante, que nos ajuda a analisar as raízes da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa equação quadrática na forma padrão
. No nosso caso:
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o discriminante. O discriminante é a parte da fórmula de Bhaskara dentro da raiz quadrada, ou seja, $ \Delta = b² - 4ac $. Ele nos diz o tipo de raízes que a equação tem:
- Se $ \Delta > 0 $, as raízes são reais e diferentes.
- Se $ \Delta = 0 $, as raízes são reais e iguais.
- Se $ \Delta < 0 $, as raízes são complexas.
Passo 4
Queremos que as raízes sejam reais e diferentes, então precisamos que $ \Delta > 0 $. Vamos calcular o discriminante da nossa equação:
Passo 5
Simplificando a expressão do discriminante:
Para que as raízes sejam reais e diferentes, temos:
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de
:
Resposta
A equação
tem raízes reais e diferentes para todos os valores de
que são menores que
.