Escreva o vetor v​​​​​​​ = ( 1, - 4) na base B = {(2,5),(- 1,2)}​​​​​​​.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente escrever o vetor $ v = (1, -4) $ na base $ B = {(2,5), (-1,2)} $. Isso envolve o assunto de representação de vetores em bases diferentes, que faz parte da matéria de Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar um vetor como combinação linear dos vetores da base fornecida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base em Álgebra Linear é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram o espaço vetorial. No nosso caso, a base $ B $ tem dois vetores, então estamos trabalhando em um espaço bidimensional, como o plano $ \mathbb{R}^2 $.

Passo 3

Para escrever o vetor $ v = (1, -4) $ na base $ B = {(2,5), (-1,2)} $, precisamos encontrar dois escalares, digamos $ a $ e $ b $, tais que:
v = (1, -4)
Isso significa que:
B = (2,5), (-1,2)

Passo 4

Agora, vamos igualar as componentes correspondentes dos vetores:
2a - b = 1 (1)
5a + 2b = -4 (2)
Temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ($ a $ e $ b $).

Passo 5

Vamos resolver esse sistema. Primeiro, da equação (1):
2a - b = 1 implies b = 2a - 1
Agora, substituímos $ b $ na equação (2):
b
5a + 2(2a - 1) = -4
5a + 4a - 2 = -4
9a - 2 = -4
9a = -4 + 2

Passo 6

Agora que encontramos $ a = -\frac{2}{9} $, vamos encontrar $ b $ usando a equação que isolamos antes:
a = -29

Passo 7

Com os valores de $ a $ e $ b $ encontrados, podemos escrever o vetor $ v $ na base $ B $:
a

Resposta

O vetor $ v = (1, -4) $ na base $ B = {(2,5), (-1,2)} $ é dado por:
v = (1, -4)

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