Calcule.
(b) integral cos ^2(4 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está dentro da matéria de cálculo integral, mais especificamente envolvendo integrais de funções trigonométricas elevadas a potências. Para resolver isso, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que nos ajude a simplificar a expressão .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a identidade trigonométrica que transforma cos^2(theta) = 1 + cos(2theta)2 em uma forma mais fácil de integrar. A identidade é:
Isso nos ajuda a quebrar a potência de coseno em termos de funções que são mais simples de integrar.

Passo 3

Aplicando essa identidade à nossa integral, onde cos^2(4x) = 1 + cos(8x)2 , temos:
integral cos^2(4x) , dx = integral 1 + cos(8x)2 , dx
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral 12 , dx + integral cos(8x)2 , dx
Isso é possível porque a integral de uma soma é a soma das integrais.

Passo 5

Agora, vamos integrar cada parte separadamente.
Para a primeira parte:
integral 12 , dx = 12x
Pois a integral de uma constante integral cos(kx) , dx = sin(kx)k em relação a integral cos(8x)2 , dx = 12 cdot sin(8x)8 = sin(8x)16 é .
Para a segunda parte, precisamos integrar . Sabemos que:
Então, aplicando isso:

Passo 6

Juntando as duas partes integradas, temos:
12x + sin(8x)16 + C
Onde é a constante de integração, que sempre adicionamos quando calculamos integrais indefinidas.

Resposta

A integral x2 + sin(8x)16 + C é igual a:

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais por fraçoes parciais.
(a) integral 12 x^2+21 x+3(x+1)(3 x^2+5 x-1) d x
Calcule.
(h) integral0^pi / 4 sec ^4(x) tg^4(x) d x
Calcule as seguintes integrais.
(b) integral7^9 x-1x(x-2) d x
Calcule.
© integral sen(x) cos ^4(5 x) d x