Calcule as seguintes integrais por fraçoes parciais.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcularmos a integral de uma função racional usando frações parciais. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente de integração de funções racionais. Vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração em partes mais simples para integrar mais fácil.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função que precisamos integrar:
O denominador já está fatorado em e . Nosso objetivo é expressar essa fração como a soma de frações mais simples.
Passo 3
Vamos supor que podemos escrever a fração original como:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados da equação pelo denominador comum , temos:
Agora, vamos expandir e simplificar o lado direito.
Passo 5
Expandindo:
Simplificando:
Passo 6
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, podemos igualar os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação.
Passo 7
Igualando os coeficientes:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar , e .
Passo 8
Primeiro, da terceira equação:
-A + C = 3 Rightarrow C = A + 3
Agora, substituímos 5A + B + (A + 3) = 21 Rightarrow 6A + B = 18 na segunda equação:
3A + B = 12 6A + B = 18
Agora temos:
3A = 6 Rightarrow A = 2
Subtraindo a primeira da segunda:
Passo 9
Com 3(2) + B = 12 Rightarrow 6 + B = 12 Rightarrow B = 6 , substituímos na primeira equação:
C = 2 + 3 = 5
E usando na expressão de :
Passo 10
Agora que temos 12 x^2+21 x+3(x+1)(3x^2+5x-1) = 2x+1 + 6x + 53x^2+5x-1 , e , podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Passo 11
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 2x+1 , dx + integral 6x + 53x^2+5x-1 , dx
A primeira integral é direta, e para a segunda, vamos usar uma substituição.
Passo 12
Para a segunda integral, seja integral 6x + 53x^2+5x-1 , dx = integral duu = ln|u| + C = ln|3x^2+5x-1| + C . Então, , o que corresponde ao numerador. Assim, temos:
Passo 13
Voltando à primeira integral:
integral 2x+1 , dx = 2 ln|x+1| + C
Juntando as duas integrais, temos a solução completa.