Calcule as seguintes integrais por fraçoes parciais.
(a) integral 12 x^2+21 x+3(x+1)(3 x^2+5 x-1) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcularmos a integral de uma função racional usando frações parciais. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente de integração de funções racionais. Vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração em partes mais simples para integrar mais fácil.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função que precisamos integrar:
12 x^2+21 x+3(x+1)(3 x^2+5 x-1)
O denominador já está fatorado em e . Nosso objetivo é expressar essa fração como a soma de frações mais simples.

Passo 3

Vamos supor que podemos escrever a fração original como:
12 x^2+21 x+3(x+1)(3x^2+5x-1) = Ax+1 + Bx + C3x^2+5x-1
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados da equação pelo denominador comum 12x^2 + 21x + 3 = A(3x^2 + 5x - 1) + (Bx + C)(x + 1) , temos:
Agora, vamos expandir e simplificar o lado direito.

Passo 5

Expandindo:
12x^2 + 21x + 3 = A cdot 3x^2 + A cdot 5x - A + Bx cdot x + Bx cdot 1 + C cdot x + C cdot 1
Simplificando:
12x^2 + 21x + 3 = 3A x^2 + 5A x - A + Bx^2 + Bx + Cx + C

Passo 6

Agrupando os termos semelhantes:
12x^2 + 21x + 3 = (3A + B)x^2 + (5A + B + C)x + (-A + C)
Agora, podemos igualar os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação.

Passo 7

Igualando os coeficientes:
3A + B = 12 (coeficiente de x^2) 5A + B + C = 21 (coeficiente de x) -A + C = 3 (termo constante)
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar , e .

Passo 8

Primeiro, da terceira equação:
-A + C = 3 Rightarrow C = A + 3
Agora, substituímos 5A + B + (A + 3) = 21 Rightarrow 6A + B = 18 na segunda equação:
3A + B = 12 6A + B = 18
Agora temos:
3A = 6 Rightarrow A = 2
Subtraindo a primeira da segunda:

Passo 9

Com 3(2) + B = 12 Rightarrow 6 + B = 12 Rightarrow B = 6 , substituímos na primeira equação:
C = 2 + 3 = 5
E usando na expressão de :

Passo 10

Agora que temos 12 x^2+21 x+3(x+1)(3x^2+5x-1) = 2x+1 + 6x + 53x^2+5x-1 , e , podemos escrever a decomposição em frações parciais:

Passo 11

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 2x+1 , dx + integral 6x + 53x^2+5x-1 , dx
A primeira integral é direta, e para a segunda, vamos usar uma substituição.

Passo 12

Para a segunda integral, seja integral 6x + 53x^2+5x-1 , dx = integral duu = ln|u| + C = ln|3x^2+5x-1| + C . Então, , o que corresponde ao numerador. Assim, temos:

Passo 13

Voltando à primeira integral:
integral 2x+1 , dx = 2 ln|x+1| + C
Juntando as duas integrais, temos a solução completa.

Resposta

A integral vale:
2 ln|x + 1| + ln|3x^2 + 5x - 1| + C

Exercícios relacionados

Calcule.
(h) integral0^pi / 4 sec ^4(x) tg^4(x) d x
Calcule.
(a) integral sen^3(x) d x
Calcule.
(b) integral cos ^2(4 x) d x
Calcule as seguintes integrais.
(b) integral7^9 x-1x(x-2) d x