Calcule as seguintes integrais.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral definida de
no intervalo de 7 a 9. Isso envolve o conteúdo de integração por frações parciais, que é uma técnica usada para simplificar integrais de funções racionais (quando temos um polinômio dividido por outro polinômio).
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração
em frações parciais. Queremos encontrar constantes
e
tais que:
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Agora, vamos resolver para
e
:
- Para encontrar
, podemos substituir :
- Para encontrar
, substituímos :
Passo 4
Com os valores de
e
encontrados, reescrevemos a fração inicial:
Passo 5
Agora, substituímos essa expressão na integral original:
Podemos separar a integral:
As integrais de
e
são logaritmos naturais:
Passo 6
Finalmente, avaliamos as integrais nos limites de 7 a 9:
Simplificando:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Calcule.
(b)
(b)
Calcule as seguintes integrais por fraçoes parciais.
(a)
(a)
Calcule.
©
©
Definimos a composição de duas funções
e
como sendo a função
Para o cálculo de
, calculamos
, com
. Assim, é preciso que
esteja no domínio de
, daí a explicação do domínio da composição.
Por exemplo, considerando as funções e
do exercício anterior, temos que
Por exemplo, considerando as funções
Veja que, no domínio, tivemos que excluir todos os pontos tais
. Assim, eliminamos todos os valores de
reais, tais que
.
Ainda considerando as funções e
como no exercício anterior, determine a expressão e domínio de cada uma das composições abaixo.
Ainda considerando as funções