Calcule as seguintes integrais.
(b) integral7^9 x-1x(x-2) d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral definida de no intervalo de 7 a 9. Isso envolve o conteúdo de integração por frações parciais, que é uma técnica usada para simplificar integrais de funções racionais (quando temos um polinômio dividido por outro polinômio).

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração x-1x(x-2) = Ax + Bx-2 em frações parciais. Queremos encontrar constantes e tais que:

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação por x - 1 = A(x - 2) + Bx para eliminar os denominadores:
0 - 1 = A(0 - 2) + B(0) Rightarrow -1 = -2A Rightarrow A = 12
Agora, vamos resolver para 2 - 1 = A(2 - 2) + B(2) Rightarrow 1 = 0 + 2B Rightarrow B = 12 e :
  • Para encontrar , podemos substituir :
  • Para encontrar , substituímos :

Passo 4

Com os valores de x-1x(x-2) = 12x + 12x-2 = 12x + 12(x-2) e encontrados, reescrevemos a fração inicial:

Passo 5

Agora, substituímos essa expressão na integral original:
integral7^9 x-1x(x-2) , dx = integral7^9 ( 12x + 12(x-2) ) dx
Podemos separar a integral:
= 12 integral7^9 1x , dx + 12 integral7^9 1x-2 , dx
As integrais de = 12 [ ln|x| ]7^9 + 12 [ ln|x-2| ]7^9 e são logaritmos naturais:

Passo 6

Finalmente, avaliamos as integrais nos limites de 7 a 9:
= 12 (ln 9 - ln 7) + 12 (ln 7 - ln 5)
Simplificando:
= 12 (ln 9 - ln 5) = 12 ln(95)

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Calcule.
(b) integral cos ^2(4 x) d x
Calcule as seguintes integrais por fraçoes parciais.
(a) integral 12 x^2+21 x+3(x+1)(3 x^2+5 x-1) d x
Calcule.
© integral sen(x) cos ^4(5 x) d x
Definimos a composição de duas funções f e g como sendo a função
(f o g)(x) = f(g(x)), para todo x pertencente ao dom(f o g) = {x pertencente ao dom(g): g(x) pertencente ao dom(f)}
Para o cálculo de (f o g)(x), calculamos f(y), com y = g(x). Assim, é preciso que y = g(x) esteja no domínio de f, daí a explicação do domínio da composição.
Por exemplo, considerando as funções f e g do exercício anterior, temos que
(g o f)(x) = g(f(x)) = 2/(f(x) - 7) = 2/(2x^2 - 8 - 7) = 2/(2x^2 - 15), forall x != +- raiz(15/2)
Veja que, no domínio, tivemos que excluir todos os pontos tais f(x) não está em dom(g) = R \ {7}. Assim, eliminamos todos os valores de x reais, tais que f(x) = 2x^2 - 8 = 7.
Ainda considerando as funções f e g como no exercício anterior, determine a expressão e domínio de cada uma das composições abaixo.