Calcule.
(h) integral0^pi / 4 sec ^4(x) tg^4(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral:
integral0^pi / 4 sec^4(x) cdot tan^4(x) , dx
Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas, especificamente a secante e a tangente. Para resolver isso, vamos precisar usar substituição trigonométrica e identificar padrões que facilitem a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar as funções trigonométricas em termos de seno e cosseno para facilitar a manipulação:
sec(x) = 1cos(x) e tan(x) = sin(x)cos(x)
Substituindo na integral:
sec^4(x) cdot tan^4(x) = (1cos(x))^4 cdot (sin(x)cos(x))^4 = sin^4(x)cos^8(x)

Passo 3

Essa expressão ainda está complicada, então vamos buscar uma substituição que simplifique a integral. Uma boa escolha é:
u = tan(x)
Então, a derivada de dudx = sec^2(x) Rightarrow dx = dusec^2(x) em relação a é:

Passo 4

Vamos substituir integral sec^4(x) cdot tan^4(x) , dx = integral u^4 cdot sec^4(x) cdot dusec^2(x) = integral u^4 cdot sec^2(x) , du na integral original. Substituindo:
integral u^4 cdot (1 + u^2) , du = integral (u^4 + u^6) , du
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral u^4 , du = u^55 e integral u^6 , du = u^77
Portanto:
integral (u^4 + u^6) , du = u^55 + u^77 + C

Passo 6

Voltando à variável original tan^5(x)5 + tan^7(x)7 + C , lembrando que :
Agora, aplicamos os limites de integração de a .

Passo 7

Avaliaremos a antiderivada nos limites:
Para [ 1^55 + 1^77 ] - [ 0^55 + 0^77 ] = 15 + 17 - 0 = 735 + 535 = 1235 , sabemos que .
Para , .
Então:

Resposta

O valor da integral é .

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