Calcule cada uma das integrais a seguir.
j) integral ln ^2(3 x)x d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral
integral ln^2(3x)x , dx
Esse exercício está relacionado com cálculo de integrais que envolvem funções logarítmicas. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar a integral transformando-a em algo mais fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro do logaritmo. Vamos definir:
u = ln(3x)
Agora, precisamos encontrar o diferencial du = ddx [ln(3x)] , dx = 13x cdot 3 , dx = 1x , dx . Derivando ambos os lados em relação a :
Então, podemos reescrever como .

Passo 3

Com essa substituição, a nossa integral fica mais simples:
integral ln^2(3x) cdot 1x , dx = integral u^2 , du
Agora, a gente tem uma integral básica de em relação a .

Passo 4

Vamos integrar integral u^n , du = u^n+1n+1 + C em relação a integral u^2 , du = u^33 + C . A integral de é dada por:
No nosso caso, , então:

Passo 5

Agora, voltamos à variável original u^33 + C = [ln(3x)]^33 + C substituindo :
Assim, encontramos a integral original em termos de .

Resposta

A integral de integral ln^2(3x)x , dx = [ln(3x)]^33 + C é:

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