Encontre a derivada de cada uma das funções a seguir.
c)
;
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa encontrar a derivada da função
. Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções logarítmicas que envolvem valor absoluto. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar logaritmos e como trabalhar com o valor absoluto dentro da derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a derivada de
, onde
é uma função de
, é dada por
. Isso significa que a gente precisa identificar qual é a função
dentro do nosso logaritmo.
Passo 3
No nosso caso, a função dentro do logaritmo é
. Então,
. Agora, precisamos derivar essa função
em relação a
.
Passo 4
Vamos derivar
. A derivada do valor absoluto de uma função
é
. Aplicando isso aqui, temos:
Onde
e
.
Passo 5
Agora que temos
, vamos substituir na fórmula da derivada do logaritmo:
Simplificando essa expressão, percebemos que
é basicamente o sinal da função
, ou seja,
.
Passo 6
Continuando a simplificação:
Como
é
, podemos reescrever:
Considerando que
já está dentro do valor absoluto, a expressão final fica simplificada dessa forma.
Resposta
A derivada de
é: