Encontre a derivada de cada uma das funções a seguir.
c) f(x) = ln(|4 + 5 x|);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa encontrar a derivada da função . Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções logarítmicas que envolvem valor absoluto. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar logaritmos e como trabalhar com o valor absoluto dentro da derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a derivada de , onde é uma função de , é dada por . Isso significa que a gente precisa identificar qual é a função dentro do nosso logaritmo.

Passo 3

No nosso caso, a função dentro do logaritmo é . Então, . Agora, precisamos derivar essa função em relação a .

Passo 4

Vamos derivar . A derivada do valor absoluto de uma função é . Aplicando isso aqui, temos:
Onde e .

Passo 5

Agora que temos , vamos substituir na fórmula da derivada do logaritmo:
Simplificando essa expressão, percebemos que é basicamente o sinal da função , ou seja, .

Passo 6

Continuando a simplificação:
Como é , podemos reescrever:
Considerando que já está dentro do valor absoluto, a expressão final fica simplificada dessa forma.

Resposta

A derivada de é:

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