Calcule o campo elétrico de um anel uniformemente carregado com carga total Q e raio a ao longo do seu eixo de simetria. Faça o gráfico do módulo do campo elétrico em função da posição neste eixo de simetria.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o campo elétrico de um anel carregado uniformemente com carga total e raio ao longo do seu eixo de simetria. Vamos precisar entender um pouco de Eletrostática, especificamente como calcular campos elétricos usando a Lei de Coulomb e o Princípio da Superposição.

Passo 2

Primeiro, imagine o anel carregado. Para calcular o campo elétrico em um ponto ao longo do eixo de simetria, vamos considerar um ponto que está a uma distância do centro do anel.

Passo 3

Vamos pensar em um elemento infinitesimal de carga no anel, que chamaremos de dE = 14piepsilon0 dqr^2 . O campo elétrico gerado por esse no ponto pode ser calculado usando a Lei de Coulomb:
onde é a distância entre o elemento de carga e o ponto . Neste caso, .

Passo 4

Como o anel é simétrico, os componentes horizontais dos campos elétricos de cada dEx = dE cdot cos(theta) se cancelam mutuamente. Apenas a componente vertical (ao longo do eixo) contribui para o campo total. Então, a componente do campo na direção do eixo é:
onde .

Passo 5

Substituindo dEx = 14piepsilon0 dqx^2 + a^2 cdot x na expressão acima:
dEx = 14piepsilon0 dq cdot x(x^2 + a^2)^3/2

Passo 6

Para encontrar o campo elétrico total Ex = 14piepsilon0 x(x^2 + a^2)^3/2 integral dq , integramos Ex = 14piepsilon0 Qx(x^2 + a^2)^3/2 em todo o anel. Como e são constantes para todo o anel, a integral fica:
Sabemos que a carga total , então:

Passo 7

Agora, para o gráfico do módulo do campo elétrico em função da posição ao longo do eixo, observamos que quando , o campo é zero. Conforme aumenta, o campo também aumenta, atinge um máximo e depois diminui conforme continua aumentando. O gráfico tem a forma de uma curva que sobe, atinge o pico e depois decai gradualmente.

Resposta

O campo elétrico ao longo do eixo de um anel carregado é dado por:
E(x) = 14piepsilon0 cdot Qx(x^2 + a^2)^3/2
E o gráfico do módulo do campo elétrico em função da posição apresenta um aumento até um máximo e depois diminui conforme aumenta.

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