Calcule o campo elétrico de um anel uniformemente carregado com carga total Q e raio a ao longo do seu eixo de simetria. Faça o gráfico do módulo do campo elétrico em função da posição neste eixo de simetria.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o campo elétrico de um anel carregado uniformemente com carga total
e raio
ao longo do seu eixo de simetria. Vamos precisar entender um pouco de Eletrostática, especificamente como calcular campos elétricos usando a Lei de Coulomb e o Princípio da Superposição.
Passo 2
Primeiro, imagine o anel carregado. Para calcular o campo elétrico em um ponto ao longo do eixo de simetria, vamos considerar um ponto
que está a uma distância
do centro do anel.
Passo 3
Vamos pensar em um elemento infinitesimal de carga no anel, que chamaremos de
. O campo elétrico gerado por esse
no ponto
pode ser calculado usando a Lei de Coulomb:
onde
é a distância entre o elemento de carga e o ponto
. Neste caso,
.
Passo 4
Como o anel é simétrico, os componentes horizontais dos campos elétricos de cada
se cancelam mutuamente. Apenas a componente vertical (ao longo do eixo) contribui para o campo total. Então, a componente do campo na direção do eixo é:
onde
.
Passo 5
Substituindo
na expressão acima:
Passo 6
Para encontrar o campo elétrico total
, integramos
em todo o anel. Como
e
são constantes para todo o anel, a integral fica:
Sabemos que a carga total
, então:
Passo 7
Agora, para o gráfico do módulo do campo elétrico em função da posição
ao longo do eixo, observamos que quando
, o campo é zero. Conforme
aumenta, o campo também aumenta, atinge um máximo e depois diminui conforme
continua aumentando. O gráfico tem a forma de uma curva que sobe, atinge o pico e depois decai gradualmente.
Resposta
O campo elétrico ao longo do eixo de um anel carregado é dado por:
E o gráfico do módulo do campo elétrico em função da posição
apresenta um aumento até um máximo e depois diminui conforme
aumenta.
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e
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; (b)
.
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