As placas de um capacitor esférico possuem raios de 38,0 mm e 40,0 mm. (a) Calcule a capacitância. (b) Qual deve ser a área da placa de um capacitor de placas paralelas com a mesma separação entre as placas e a mesma capacitância? R: (a) 84,5 pF; (b) 191 cm^2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos um capacitor esférico com placas de raios e . Precisamos calcular a capacitância desse capacitor (parte a) e, na parte b, determinar a área das placas de um capacitor de placas paralelas que tenha a mesma separação entre as placas e a mesma capacitância.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de capacitância de capacitores esféricos e de placas paralelas, utilizando as fórmulas apropriadas e conversões de unidades quando necessário.

Passo 2

Parte a: Calculando a capacitância do capacitor esférico
A capacitância C = 4pivarepsilon0 r1 r2r2 - r1 de um capacitor esférico é dada pela fórmula:
r1 = 38,0 , mm = 0,038 , m
Onde:
  • r2 = 40,0 , mm = 0,040 , m é a permissividade do vácuo ( C = 4pi times 8,854 times 10^-12 , F/m times 0,038 times 0,0400,040 - 0,038 )
  • e são os raios das duas esferas.
Vamos substituir os valores fornecidos:
Substituindo na fórmula:

Passo 3

Vamos calcular o denominador 0,040 , m - 0,038 , m = 0,002 , m :
C = 4pi times 8,854 times 10^-12 times 0,038 times 0,0400,002
Agora, substituímos de volta na fórmula:

Passo 4

Simplificando a expressão:
Primeiro, calculamos o numerador C = 4pi times 8,854 times 10^-12 times 0,001520,002 .
Então:
C = 4pi times 8,854 times 10^-12 times 0,76

Passo 5

Calculando:
C = 4 times 3,1416 times 8,854 times 10^-12 times 0,76
C approx 4 times 3,1416 times 8,854 times 0,76 times 10^-12
C approx 84,5 times 10^-12 , F
C approx 84,5 , pF

Passo 6

Parte b: Determinando a área das placas de um capacitor de placas paralelas
A capacitância C = varepsilon0 Ad de um capacitor de placas paralelas é dada por:
A = C times dvarepsilon0
Onde:
  • d = r2 - r1 = 0,040 , m - 0,038 , m = 0,002 , m é a área das placas
  • A = 84,5 times 10^-12 times 0,0028,854 times 10^-12 é a separação entre as placas
Queremos encontrar , então rearranjamos a fórmula:
Sabemos que a separação é a diferença entre os raios das esferas do capacitor esférico:
Substituindo os valores:

Passo 7

Simplificando a expressão:
A = 84,5 times 0,0028,854 , m^2
A = 0,1698,854 , m^2
A approx 0,0191 , m^2
Convertendo para centímetros quadrados:
0,0191 , m^2 = 191 , cm^2

Resposta

(a) A capacitância é ;
(b) A área das placas deve ser .

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