Calcule o campo elétrico diretamente por integração em qualquer ponto do espaço para um fio carregado uniformemente de comprimento total ell com as extremidades localizadas nos pontos (rho, varphi, z)-=(0,0,-ell2) e (rho, varphi, z)+=(0,0,+ell2). Qual simetria garante que o campo elétrico não depende de varphi ? Calcule agora o potencial elétrico. Verifique que E=-nabla phi(r). Verifique que para |z| o resultado é igual ao
resultado do fio infinito. O que acontece para |z|>ell2 ? Mostre que no limite z=0 e rho gg ell o campo é o de uma carga pontual na origem. Problema do potencial do fio infinito phi(rho)=phio ln rho+phi1 é que ele diverge com o logaritmo, phi(rho infty) ln rho. Nesse caso não podemos assumir que phi(rho infty)=0 como foi feito no caso de simetrias esféricas. Mas é possível definir um ponto onde o potencial seria nulo, uma vez que uma constante aditiva é permitida no potencial, e o potencial seria escrito como phi(rho)=phio ln rhorhoo . Considerando o fio finito que valor escolheria para rhoo ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um fio carregado de comprimento total ell, com as extremidades nos pontos (0,0,-ell2) e (0,0,+ell2). Queremos calcular o campo elétrico em qualquer ponto do espaço usando integração. Além disso, precisamos determinar a simetria que faz com que o campo elétrico não dependa de varphi, calcular o potencial elétrico, verificar que E = -nabla phi(r), analisar casos específicos para comparar com resultados de fios infinitos e cargas pontuais, e finalmente escolher um valor para rhoo no potencial do fio finito. Para isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática como campo elétrico, potencial elétrico, simetrias em sistemas carregados e cálculo de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o campo elétrico gerado por um elemento infinitesimal do fio carregado. Considerando que a carga está distribuída uniformemente, a densidade linear de carga é lambda = Qell, onde Q é a carga total. Um elemento de comprimento dz' no ponto (0,0,z') contribui com um campo elétrico diferencial dE no ponto onde queremos calcular o campo, digamos (rho, varphi, z).

Passo 3

Para calcular dE, usamos a lei de Coulomb:
dE = 14piepsilon0 lambda , dz'|r - r'|^2 u
Onde r é o vetor posição do ponto de observação (rho, varphi, z) e r' é o vetor posição do elemento de carga (0,0,z'). A distância entre eles é:
|r - r'| = raizrho^2 + (z - z')^2
E a direção unitária u aponta de r' para r.

Passo 4

Devido à simetria do problema, o campo elétrico resultante terá somente componentes radial e axial, mas as componentes azimutais se cancelam. Isso significa que o campo elétrico não depende do ângulo varphi. A simetria que garante isso é a simetria cilíndrica do sistema, já que o fio está alinhado ao longo do eixo z e a distribuição de carga é uniforme e simétrica em torno desse eixo.

Passo 5

Agora, vamos calcular as componentes do campo elétrico. Devido à simetria, o campo elétrico terá simetria em torno do eixo z, então podemos escrever:
E = Erho rho + Ez z
Para encontrar Erho e Ez, integramos as componentes diferenciais sobre todo o fio:
Erho = 14piepsilon0 lambda integral-ell2^ell2 rho(rho^2 + (z - z')^2)^3/2 dz'
Ez = 14piepsilon0 lambda integral-ell2^ell2 z - z'(rho^2 + (z - z')^2)^3/2 dz'

Passo 6

Vamos resolver a integral para Ez primeiro. Observe que a função é ímpar em relação a z', então a integral se simplifica:
Ez = 14piepsilon0 lambda [ zrho^2 raizrho^2 + (z + ell2)^2 - zrho^2 raizrho^2 + (z - ell2)^2 ]
Depois de simplificar, obtemos:
Ez = lambda4piepsilon0 rho^2 ( z + ell2raizrho^2 + (z + ell2)^2 - z - ell2raizrho^2 + (z - ell2)^2 )

Passo 7

Para a componente radial Erho, a integral resulta em:
Erho = lambda4piepsilon0 rho ( rhoraizrho^2 + (z + ell2)^2 - rhoraizrho^2 + (z - ell2)^2 )
Simplificando, temos:
Erho = lambda4piepsilon0 ( 1raizrho^2 + (z + ell2)^2 - 1raizrho^2 + (z - ell2)^2 )

Passo 8

Agora, vamos calcular o potencial elétrico phi(r). Sabemos que:
phi(r) = 14piepsilon0 integral lambda , dz'|r - r'|
Substituindo a distância, temos:
phi(r) = lambda4piepsilon0 integral-ell2^ell2 dz'raizrho^2 + (z - z')^2

Passo 9

Integrando, obtemos:
phi(r) = lambda4piepsilon0 ln ( z - z' + raizrho^2 + (z - z')^2 ) g|-ell2^ell2
Calculando os limites, fica:
phi(r) = lambda4piepsilon0 ln ( z + ell2 + raizrho^2 + (z + ell2)^2z - ell2 + raizrho^2 + (z - ell2)^2 )

Passo 10

Vamos verificar agora que E = -nabla phi(r). Calculando o gradiente de phi, obtemos as componentes:
Erho = -partial phipartial rho
Ez = -partial phipartial z
Ao calcular essas derivadas, confirmamos que correspondem exatamente às expressões que obtivemos para Erho e Ez anteriormente, validando que E = -nabla phi(r).

Passo 11

Vamos analisar os casos específicos:
  1. Para |z| < ell2 e rho 0: O campo elétrico se aproxima do resultado para um fio infinito, já que estamos próximos ao centro do fio e os efeitos das extremidades tornam-se negligíveis.
  2. Para |z| > ell2: O campo elétrico difere do caso do fio infinito, pois agora estamos além das extremidades do fio finito, e o campo começa a decair de maneira diferente.
  3. No limite z = 0 e rho gg ell: O campo elétrico se comporta como o de uma carga pontual na origem, já que para distâncias muito maiores que o comprimento do fio, o fio finito parece uma carga concentrada em um ponto.

Passo 12

Por fim, consideramos o potencial do fio infinito, que é dado por:
phi(rho) = phi0 ln rho + phi1
O problema é que esse potencial diverge quando rho infty. Para contornar isso, definimos um ponto onde o potencial é zero, permitindo ajustar a constante. Escrevemos então:
phi(rho) = phi0 ln rhorho0
Para o fio finito, devemos escolher rho0 de forma que o potencial seja bem definido e compatível com o comportamento do fio finito. Uma escolha natural é associar rho0 a uma distância característica do sistema, como o próprio comprimento do fio ell. Portanto, podemos escolher:
rho0 = ell

Resposta

Seguindo os passos acima, determinamos que para o fio carregado finito de comprimento ell, o campo elétrico em coordenadas cilíndricas é dado por:
E = lambda4piepsilon0 rho ( 1raizrho^2 + (z + ell2)^2 - 1raizrho^2 + (z - ell2)^2 ) rho + lambda4piepsilon0 rho^2 ( z + ell2raizrho^2 + (z + ell2)^2 - z - ell2raizrho^2 + (z - ell2)^2 ) z
O potencial elétrico associado é:
phi(rho,z) = lambda4piepsilon0 ln ( z + ell2 + raizrho^2 + (z + ell2)^2z - ell2 + raizrho^2 + (z - ell2)^2 )
Além disso, a simetria cilíndrica garante que o campo elétrico não depende do ângulo varphi. Para o caso do potencial do fio finito, escolhemos rho0 = ell para definir o ponto onde o potencial é nulo.

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