Calcule o campo elétrico diretamente por integração em qualquer ponto do espaço para um fio carregado uniformemente de comprimento total com as extremidades localizadas nos pontos e . Qual simetria garante que o campo elétrico não depende de ? Calcule agora o potencial elétrico. Verifique que . Verifique que para o resultado é igual ao
resultado do fio infinito. O que acontece para ? Mostre que no limite o campo é o de uma carga pontual na origem. Problema do potencial do fio infinito é que ele diverge com o logaritmo, . Nesse caso não podemos assumir que como foi feito no caso de simetrias esféricas. Mas é possível definir um ponto onde o potencial seria nulo, uma vez que uma constante aditiva é permitida no potencial, e o potencial seria escrito como . Considerando o fio finito que valor escolheria para ?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um fio carregado de comprimento total , com as extremidades nos pontos e . Queremos calcular o campo elétrico em qualquer ponto do espaço usando integração. Além disso, precisamos determinar a simetria que faz com que o campo elétrico não dependa de , calcular o potencial elétrico, verificar que , analisar casos específicos para comparar com resultados de fios infinitos e cargas pontuais, e finalmente escolher um valor para no potencial do fio finito. Para isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática como campo elétrico, potencial elétrico, simetrias em sistemas carregados e cálculo de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o campo elétrico gerado por um elemento infinitesimal do fio carregado. Considerando que a carga está distribuída uniformemente, a densidade linear de carga é , onde é a carga total. Um elemento de comprimento no ponto contribui com um campo elétrico diferencial no ponto onde queremos calcular o campo, digamos .
Passo 3
Para calcular , usamos a lei de Coulomb:
Onde é o vetor posição do ponto de observação e é o vetor posição do elemento de carga . A distância entre eles é:
E a direção unitária aponta de para .
Passo 4
Devido à simetria do problema, o campo elétrico resultante terá somente componentes radial e axial, mas as componentes azimutais se cancelam. Isso significa que o campo elétrico não depende do ângulo . A simetria que garante isso é a simetria cilíndrica do sistema, já que o fio está alinhado ao longo do eixo e a distribuição de carga é uniforme e simétrica em torno desse eixo.
Passo 5
Agora, vamos calcular as componentes do campo elétrico. Devido à simetria, o campo elétrico terá simetria em torno do eixo , então podemos escrever:
Para encontrar e , integramos as componentes diferenciais sobre todo o fio:
Passo 6
Vamos resolver a integral para primeiro. Observe que a função é ímpar em relação a , então a integral se simplifica:
Depois de simplificar, obtemos:
Ez = lambda4piepsilon0 rho^2 ( z + ell2raizrho^2 + (z + ell2)^2 - z - ell2raizrho^2 + (z - ell2)^2 )
Passo 7
Para a componente radial Erho, a integral resulta em:
Erho = lambda4piepsilon0 rho ( rhoraizrho^2 + (z + ell2)^2 - rhoraizrho^2 + (z - ell2)^2 )
Simplificando, temos:
Erho = lambda4piepsilon0 ( 1raizrho^2 + (z + ell2)^2 - 1raizrho^2 + (z - ell2)^2 )
Passo 8
Agora, vamos calcular o potencial elétrico phi(r). Sabemos que:
phi(r) = 14piepsilon0 integral lambda , dz'|r - r'|
Substituindo a distância, temos:
phi(r) = lambda4piepsilon0 integral-ell2^ell2 dz'raizrho^2 + (z - z')^2
Passo 9
Integrando, obtemos:
phi(r) = lambda4piepsilon0 ln ( z - z' + raizrho^2 + (z - z')^2 ) g|-ell2^ell2
Calculando os limites, fica:
phi(r) = lambda4piepsilon0 ln ( z + ell2 + raizrho^2 + (z + ell2)^2z - ell2 + raizrho^2 + (z - ell2)^2 )
Passo 10
Vamos verificar agora que E = -nabla phi(r). Calculando o gradiente de phi, obtemos as componentes:
Erho = -partial phipartial rho
Ez = -partial phipartial z
Ao calcular essas derivadas, confirmamos que correspondem exatamente às expressões que obtivemos para Erho e Ez anteriormente, validando que E = -nabla phi(r).
Passo 11
Vamos analisar os casos específicos:
Para |z| < ell2 e rho 0: O campo elétrico se aproxima do resultado para um fio infinito, já que estamos próximos ao centro do fio e os efeitos das extremidades tornam-se negligíveis.
Para |z| > ell2: O campo elétrico difere do caso do fio infinito, pois agora estamos além das extremidades do fio finito, e o campo começa a decair de maneira diferente.
No limite z = 0 e rho gg ell: O campo elétrico se comporta como o de uma carga pontual na origem, já que para distâncias muito maiores que o comprimento do fio, o fio finito parece uma carga concentrada em um ponto.
Passo 12
Por fim, consideramos o potencial do fio infinito, que é dado por:
phi(rho) = phi0 ln rho + phi1
O problema é que esse potencial diverge quando rho infty. Para contornar isso, definimos um ponto onde o potencial é zero, permitindo ajustar a constante. Escrevemos então:
phi(rho) = phi0 ln rhorho0
Para o fio finito, devemos escolher rho0 de forma que o potencial seja bem definido e compatível com o comportamento do fio finito. Uma escolha natural é associar rho0 a uma distância característica do sistema, como o próprio comprimento do fio ell. Portanto, podemos escolher:
rho0 = ell
Resposta
Seguindo os passos acima, determinamos que para o fio carregado finito de comprimento ell, o campo elétrico em coordenadas cilíndricas é dado por:
E = lambda4piepsilon0 rho ( 1raizrho^2 + (z + ell2)^2 - 1raizrho^2 + (z - ell2)^2 ) rho + lambda4piepsilon0 rho^2 ( z + ell2raizrho^2 + (z + ell2)^2 - z - ell2raizrho^2 + (z - ell2)^2 ) z
O potencial elétrico associado é:
phi(rho,z) = lambda4piepsilon0 ln ( z + ell2 + raizrho^2 + (z + ell2)^2z - ell2 + raizrho^2 + (z - ell2)^2 )
Além disso, a simetria cilíndrica garante que o campo elétrico não depende do ângulo varphi. Para o caso do potencial do fio finito, escolhemos rho0 = ell para definir o ponto onde o potencial é nulo.