Calcule o campo elétrico diretamente por integração em qualquer ponto do espaço para um fio carregado uniformemente de comprimento total com as extremidades localizadas nos pontos e . Qual simetria garante que o campo elétrico não depende de ? Calcule agora o potencial elétrico. Verifique que . Verifique que para o resultado é igual ao
resultado do fio infinito. O que acontece para ? Mostre que no limite o campo é o de uma carga pontual na origem. Problema do potencial do fio infinito é que ele diverge com o logaritmo, . Nesse caso não podemos assumir que como foi feito no caso de simetrias esféricas. Mas é possível definir um ponto onde o potencial seria nulo, uma vez que uma constante aditiva é permitida no potencial, e o potencial seria escrito como . Considerando o fio finito que valor escolheria para ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um fio carregado de comprimento total , com as extremidades nos pontos e . Queremos calcular o campo elétrico em qualquer ponto do espaço usando integração. Além disso, precisamos determinar a simetria que faz com que o campo elétrico não dependa de , calcular o potencial elétrico, verificar que , analisar casos específicos para comparar com resultados de fios infinitos e cargas pontuais, e finalmente escolher um valor para no potencial do fio finito. Para isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática como campo elétrico, potencial elétrico, simetrias em sistemas carregados e cálculo de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o campo elétrico gerado por um elemento infinitesimal do fio carregado. Considerando que a carga está distribuída uniformemente, a densidade linear de carga é , onde é a carga total. Um elemento de comprimento no ponto contribui com um campo elétrico diferencial no ponto onde queremos calcular o campo, digamos .

Passo 3

Para calcular , usamos a lei de Coulomb:
Onde é o vetor posição do ponto de observação e é o vetor posição do elemento de carga . A distância entre eles é:
E a direção unitária aponta de para .

Passo 4

Devido à simetria do problema, o campo elétrico resultante terá somente componentes radial e axial, mas as componentes azimutais se cancelam. Isso significa que o campo elétrico não depende do ângulo . A simetria que garante isso é a simetria cilíndrica do sistema, já que o fio está alinhado ao longo do eixo e a distribuição de carga é uniforme e simétrica em torno desse eixo.

Passo 5

Agora, vamos calcular as componentes do campo elétrico. Devido à simetria, o campo elétrico terá simetria em torno do eixo , então podemos escrever:
Para encontrar e , integramos as componentes diferenciais sobre todo o fio:

Passo 6

Vamos resolver a integral para primeiro. Observe que a função é ímpar em relação a , então a integral se simplifica:
Depois de simplificar, obtemos:

Passo 7

Para a componente radial , a integral resulta em:
Simplificando, temos:

Passo 8

Agora, vamos calcular o potencial elétrico . Sabemos que:
Substituindo a distância, temos:

Passo 9

Integrando, obtemos:
Calculando os limites, fica:

Passo 10

Vamos verificar agora que . Calculando o gradiente de , obtemos as componentes:
Ao calcular essas derivadas, confirmamos que correspondem exatamente às expressões que obtivemos para e anteriormente, validando que .

Passo 11

Vamos analisar os casos específicos:
  1. Para e : O campo elétrico se aproxima do resultado para um fio infinito, já que estamos próximos ao centro do fio e os efeitos das extremidades tornam-se negligíveis.
  2. Para : O campo elétrico difere do caso do fio infinito, pois agora estamos além das extremidades do fio finito, e o campo começa a decair de maneira diferente.
  3. No limite e : O campo elétrico se comporta como o de uma carga pontual na origem, já que para distâncias muito maiores que o comprimento do fio, o fio finito parece uma carga concentrada em um ponto.

Passo 12

Por fim, consideramos o potencial do fio infinito, que é dado por:
O problema é que esse potencial diverge quando . Para contornar isso, definimos um ponto onde o potencial é zero, permitindo ajustar a constante. Escrevemos então:
Para o fio finito, devemos escolher de forma que o potencial seja bem definido e compatível com o comportamento do fio finito. Uma escolha natural é associar a uma distância característica do sistema, como o próprio comprimento do fio . Portanto, podemos escolher:

Resposta

Seguindo os passos acima, determinamos que para o fio carregado finito de comprimento , o campo elétrico em coordenadas cilíndricas é dado por:
O potencial elétrico associado é:
Além disso, a simetria cilíndrica garante que o campo elétrico não depende do ângulo . Para o caso do potencial do fio finito, escolhemos para definir o ponto onde o potencial é nulo.

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