Definindo a polarização com P maiúsculo P como a densidade de momentos de dipolo elétrico P=d pd V mostre que o potencial na presença de cargas livres e de polarização é dado por phi(r)=14 pi varepsilono integral rho(r^prime)|r-r^prime| d V^prime+14 pi varepsilono integral (r-r^prime) cdot P(r^prime)|r-r^prime|^3 d V^prime.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que fala sobre polarização e como calcular o potencial elétrico quando existem cargas livres e de polarização. Basicamente, vamos usar a definição de polarização e aplicar conceitos de eletrostática para chegar à expressão do potencial .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico philivres(r) = 14 pi varepsilon0 integral rho(r^prime)|r - r^prime| d V^prime é uma forma de descrever como as cargas elétricas criam um campo elétrico ao seu redor. Quando temos cargas livres distribuídas no espaço, o potencial devido a essas cargas é dado pela integral da densidade de carga sobre todo o volume.
A fórmula para isso é:

Passo 3

Agora, além das cargas livres, temos a polarização do material. A polarização phipolarização(r) = 14 pi varepsilon0 integral (r - r^prime) cdot P(r^prime)|r - r^prime|^3 d V^prime representa a densidade dos momentos de dipolo elétrico no material. Essa polarização também contribui para o campo elétrico e, consequentemente, para o potencial elétrico.
A contribuição do potencial devido à polarização é um pouco mais complicada, mas a ideia é que cada dipolo cria seu próprio potencial, e somamos isso para todos os dipolos no volume. A expressão para isso é:
çã

Passo 4

Para encontrar o potencial total phi(r) = philivres(r) + phipolarização(r) , simplesmente somamos as contribuições das cargas livres e da polarização. Ou seja:
phi(r) = 14 pi varepsilon0 integral rho(r^prime)|r - r^prime| d V^prime + 14 pi varepsilon0 integral (r - r^prime) cdot P(r^prime)|r - r^prime|^3 d V^prime çã
Substituindo as expressões que já encontramos, temos:

Resposta

Então, o potencial elétrico na presença de cargas livres e de polarização é dado por:
phi(r) = 14 pi varepsilon0 integral rho(r^prime)|r - r^prime| d V^prime + 14 pi varepsilon0 integral (r - r^prime) cdot P(r^prime)|r - r^prime|^3 d V^prime

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