(a) Calcule o campo elétrico gerado por um disco de raio e espessura desprezível, com uma carga uniformemente distribuída em seu corpo, em um ponto sobre o eixo do disco e à uma distância do seu centro. (b) Qual o valor do campo elétrico no limite de o disco ser um plano infinito.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de eletrostática que pede para calcular o campo elétrico gerado por um disco carregado uniformemente. No primeiro item, queremos saber o campo em um ponto sobre o eixo do disco, a uma distância do centro. No segundo item, queremos ver qual fica o campo quando o disco vira um plano infinito. Para isso, vamos usar conceitos de campo elétrico e integração para somar as contribuições de cada parte do disco.

Passo 2

Primeiro, imagine o disco de raio com carga total distribuída uniformemente. Como a espessura é desprezível, podemos considerar ele como uma superfície plana. A densidade de carga superficial é dada por:
Isso nos diz quanto de carga tem em cada área do disco.

Passo 3

Para calcular o campo elétrico no ponto distante do centro ao longo do eixo, vamos dividir o disco em anéis concêntricos de raio e espessura . Cada anel tem uma carga que pode ser expressa como:
Aqui, é a área de um anel.

Passo 4

Cada anel gera um campo elétrico no ponto . Devido à simetria, apenas a componente ao longo do eixo contribui, então:
Explicando, usamos a Lei de Coulomb para o campo de uma carga e projetamos na direção .

Passo 5

Substituindo na expressão de :
Agora, precisamos integrar de até para obter o campo total .

Passo 6

A integral fica:
Fazendo a substituição , , a integral simplifica para:
Simplificando mais:

Passo 7

Agora, substituímos na expressão de :
Esse é o campo elétrico no ponto a uma distância do centro do disco.

Passo 8

Para o item (b), queremos o campo elétrico quando o disco se torna um plano infinito. Isso acontece quando tende a infinito. Observando a expressão de :
Então, o campo elétrico fica:
Mas como tende a infinito, a densidade de carga permanece constante, e o campo elétrico de um plano infinito carregado uniformemente é:

Resposta

(a) O campo elétrico gerado pelo disco no ponto é:
(b) No limite de o disco ser um plano infinito, o campo elétrico é:

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(b)