(a) Calcule o campo elétrico gerado por um disco de raio
e espessura desprezível, com uma carga
uniformemente distribuída em seu corpo, em um ponto sobre o eixo do disco e à uma distância
do seu centro. (b) Qual o valor do campo elétrico no limite de o disco ser um plano infinito.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de eletrostática que pede para calcular o campo elétrico gerado por um disco carregado uniformemente. No primeiro item, queremos saber o campo em um ponto sobre o eixo do disco, a uma distância
do centro. No segundo item, queremos ver qual fica o campo quando o disco vira um plano infinito. Para isso, vamos usar conceitos de campo elétrico e integração para somar as contribuições de cada parte do disco.
Passo 2
Primeiro, imagine o disco de raio
com carga total
distribuída uniformemente. Como a espessura é desprezível, podemos considerar ele como uma superfície plana. A densidade de carga superficial
é dada por:
Isso nos diz quanto de carga tem em cada área do disco.
Passo 3
Para calcular o campo elétrico no ponto
distante
do centro ao longo do eixo, vamos dividir o disco em anéis concêntricos de raio
e espessura
. Cada anel tem uma carga
que pode ser expressa como:
Aqui,
é a área de um anel.
Passo 4
Cada anel gera um campo elétrico
no ponto
. Devido à simetria, apenas a componente ao longo do eixo
contribui, então:
Explicando, usamos a Lei de Coulomb para o campo de uma carga
e projetamos na direção
.
Passo 5
Substituindo
na expressão de
:
Agora, precisamos integrar
de
até
para obter o campo total
.
Passo 6
A integral fica:
Fazendo a substituição
,
, a integral simplifica para:
Simplificando mais:
Passo 7
Agora, substituímos
na expressão de
:
Esse é o campo elétrico no ponto
a uma distância
do centro do disco.
Passo 8
Para o item (b), queremos o campo elétrico quando o disco se torna um plano infinito. Isso acontece quando
tende a infinito. Observando a expressão de
:
Então, o campo elétrico fica:
Mas como
tende a infinito, a densidade de carga
permanece constante, e o campo elétrico de um plano infinito carregado uniformemente é:
Resposta
(a) O campo elétrico gerado pelo disco no ponto
é:
(b) No limite de o disco ser um plano infinito, o campo elétrico é:
Exercícios relacionados
Tabela 1: (a) Medições diretas das variáveis
e
fixado. (b) Medições diretas das variáveis
e
, com
fixado.
(a)
(a)
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(a) Explique de forma clara e completa por que numa situação estática todos os pontos de um material condutor devem ter campo elétrico nulo. (b) Por que, nesta situação, podemos afirmar que um corpo condutor é equipotencial.
Rutherford propôs em 1911, a existência de um núcleo para o átomo. Segundo ele, o átomo de um elemento de número atômico
tem um núcleo esférico minúsculo, de raio
e carga
, circundado por uma carga eletrônica
uniformemente distribuída em uma esfera de raio
, muito maior que
, concêntrica ao núcleo. Calcule o valor do campo elétrico dentro da nuvem eletrônica, em um ponto à distância
do centro do átomo.
(b)
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