(a) Calcule o campo elétrico gerado por um disco de raio R e espessura desprezível, com uma carga q uniformemente distribuída em seu corpo, em um ponto sobre o eixo do disco e à uma distância z do seu centro. (b) Qual o valor do campo elétrico no limite de o disco ser um plano infinito.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de eletrostática que pede para calcular o campo elétrico gerado por um disco carregado uniformemente. No primeiro item, queremos saber o campo em um ponto sobre o eixo do disco, a uma distância do centro. No segundo item, queremos ver qual fica o campo quando o disco vira um plano infinito. Para isso, vamos usar conceitos de campo elétrico e integração para somar as contribuições de cada parte do disco.

Passo 2

Primeiro, imagine o disco de raio sigma = qpi R^2 com carga total distribuída uniformemente. Como a espessura é desprezível, podemos considerar ele como uma superfície plana. A densidade de carga superficial é dada por:
Isso nos diz quanto de carga tem em cada área do disco.

Passo 3

Para calcular o campo elétrico no ponto dq = sigma cdot 2pi r dr distante do centro ao longo do eixo, vamos dividir o disco em anéis concêntricos de raio e espessura . Cada anel tem uma carga que pode ser expressa como:
Aqui, é a área de um anel.

Passo 4

Cada anel gera um campo elétrico dE = 14pivarepsilon0 cdot dq cdot z(z^2 + r^2)^3/2 no ponto . Devido à simetria, apenas a componente ao longo do eixo contribui, então:
Explicando, usamos a Lei de Coulomb para o campo de uma carga e projetamos na direção .

Passo 5

Substituindo dE = 14pivarepsilon0 cdot sigma 2pi r dr cdot z(z^2 + r^2)^3/2 = sigma z2varepsilon0 cdot r dr(z^2 + r^2)^3/2 na expressão de :
Agora, precisamos integrar de até para obter o campo total .

Passo 6

A integral fica:
E = sigma z2varepsilon0 integral0^R r dr(z^2 + r^2)^3/2
Fazendo a substituição E = sigma z2varepsilon0 [ -1raizz^2 + r^2 ]0^R = sigma z2varepsilon0 ( 1z - 1raizz^2 + R^2 ) , E = sigma2varepsilon0 ( 1 - zraizz^2 + R^2 ) , a integral simplifica para:
Simplificando mais:

Passo 7

Agora, substituímos E = q2pivarepsilon0 R^2 ( 1 - zraizz^2 + R^2 ) na expressão de :
Esse é o campo elétrico no ponto a uma distância do centro do disco.

Passo 8

Para o item (b), queremos o campo elétrico quando o disco se torna um plano infinito. Isso acontece quando limR to infty ( 1 - zraizz^2 + R^2 ) = 1 - 0 = 1 tende a infinito. Observando a expressão de E = q2pivarepsilon0 R^2 cdot 1 :
E = sigma2varepsilon0
Então, o campo elétrico fica:
Mas como tende a infinito, a densidade de carga permanece constante, e o campo elétrico de um plano infinito carregado uniformemente é:

Resposta

(a) O campo elétrico gerado pelo disco no ponto E = q2pivarepsilon0 R^2 ( 1 - zraizz^2 + R^2 ) é:
E = sigma2varepsilon0
(b) No limite de o disco ser um plano infinito, o campo elétrico é:

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