Rutherford propôs em 1911, a existência de um núcleo para o átomo. Segundo ele, o átomo de um elemento de número atômico Z tem um núcleo esférico minúsculo, de raio a e carga +Z e, circundado por uma carga eletrônica -Z e uniformemente distribuída em uma esfera de raio R, muito maior que a, concêntrica ao núcleo. Calcule o valor do campo elétrico dentro da nuvem eletrônica, em um ponto à distância r do centro do átomo.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um átomo proposto por Rutherford, onde o núcleo é uma bolinha carregada positivamente com carga +Ze e raio a. Ao redor desse núcleo, tem uma nuvem de elétrons distribuída uniformemente em uma esfera maior com raio R e carga total -Ze. A pergunta é: qual é o campo elétrico nesse átomo, dentro da nuvem eletrônica, num ponto que está a uma distância r do centro do átomo? Para resolver, vamos precisar usar a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico com a carga envolvida.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o campo elétrico devido ao núcleo positivo no ponto a distância r. Como o núcleo é esférico e a carga está concentrada no centro, podemos tratar como se toda a carga estivesse ali. A fórmula para o campo elétrico de uma carga pontual é:
Enúc<=o = 14piepsilon0 cdot Zer^2 ú
Isso nos dá o campo elétrico gerado pelo núcleo nesse ponto.

Passo 3

Agora, vamos calcular o campo elétrico devido à nuvem de elétrons. Como a carga está distribuída uniformemente na esfera de raio R, para um ponto interno a essa esfera ( r < R), apenas a parte da carga que está dentro do raio r contribui para o campo elétrico, conforme a Lei de Gauss. A carga dentro desse raio é proporcional ao volume:
Qenc = -Ze cdot (r^3R^3)
Então, o campo elétrico devido aos elétrons é:
Eelétrons = 14piepsilon0 cdot Qencr^2 = 14piepsilon0 cdot (-Ze cdot rR^3) é

Passo 4

Por último, vamos somar os dois campos elétricos que calculamos para obter o campo elétrico total no ponto a distância r do centro:
Etotal = Enúc<=o + Eelétrons = 14piepsilon0 ( Zer^2 - Ze cdot rR^3 ) úé

Resposta

O campo elétrico no ponto a distância r do centro do átomo é:
E = 14piepsilon0 ( Zer^2 - Ze cdot rR^3 )

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