Duas partículas se movem independentemenre em uma caixa unidimensional de comprimento a, uma estando no estado fundamental do potencial de poço quadrado infinito que descreve a caixa e a primeiro estado excitado do mesmo potencial. Para simplificar, suponha que as partículas não têm spin, de modo que as autofunçôes totais para o sistema sejam apenas autofunçõe espaciais.
Calcule as autofunções totais simétrica e antisimetrica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas partículas que estão se movendo de forma independente dentro de uma caixa unidimensional com comprimento a. Uma está no estado fundamental do potencial de poço quadrado infinito, e a outra está no primeiro estado excitado desse mesmo potencial. Nosso objetivo aqui é calcular as autofunções totais simétrica e antissimétrica desse sistema.
Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre as autofunções de partículas em potenciais confinados, como o poço quadrado infinito, e entender como combinar essas autofunções para formar estados simétricos e antissimétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as autofunções para uma partícula em um poço quadrado infinito de largura a. As autofunções são dadas por:
psin(x) = raiz2a sin(npi xa)
onde n é o número quântico principal, que determina o estado energético da partícula. Para o estado fundamental, n=1, e para o primeiro estado excitado, n=2.
Então, temos:
  • Para a primeira partícula no estado fundamental ( n=1):
    psi1(x) = raiz2a sin(pi xa)
  • Para a segunda partícula no primeiro estado excitado ( n=2):
    psi2(x) = raiz2a sin(2pi xa)

Passo 3

Agora, vamos falar sobre como combinar as autofunções de duas partículas. Quando temos duas partículas, a autofunção total do sistema é o produto das autofunções individuais. Então, a autofunção total sem qualquer simetrização seria:
Psi(x1, x2) = psi1(x1) psi2(x2)
No entanto, para sistemas de partículas indistinguíveis, precisamos considerar a simetria das funções de onda. Podemos ter dois tipos de combinações:
  1. Simétrica: A função de onda não muda quando trocamos as partículas.
  2. Antissimétrica: A função de onda muda de sinal quando trocamos as partículas.
Essas combinações são importantes, especialmente quando lidamos com partículas como férmions (que usam a combinação antissimétrica) ou bósons (que usam a simétrica).

Passo 4

Vamos construir agora as autofunções totais simétrica e antissimétrica.
  1. Função Simétrica:
    Para tornar a função simétrica, somamos as duas possibilidades de configuração das partículas:
    Psisimétrica(x1, x2) = 1raiz2 [ psi1(x1) psi2(x2) + psi1(x2) psi2(x1) ] é
  2. Função Antissimétrica:
    Para a função antissimétrica, subtraímos as duas possibilidades:
    Psiantissimétrica(x1, x2) = 1raiz2 [ psi1(x1) psi2(x2) - psi1(x2) psi2(x1) ] é
Esse fator 1raiz2 é uma normalização para garantir que a função de onda total tenha a probabilidade total igual a 1.

Passo 5

Agora, substituindo as expressões das autofunções individuais que encontramos no Passo 2, temos:
  1. Função Simétrica:
    Psisimétrica(x1, x2) = 1raiz2 [ raiz2a sin(pi x1a) cdot raiz2a sin(2pi x2a) + raiz2a sin(pi x2a) cdot raiz2a sin(2pi x1a) ] é
    Simplificando:
    Psisimétrica(x1, x2) = 2araiz2 [ sin(pi x1a) sin(2pi x2a) + sin(pi x2a) sin(2pi x1a) ] é
  2. Função Antissimétrica:
    Psiantissimétrica(x1, x2) = 1raiz2 [ raiz2a sin(pi x1a) cdot raiz2a sin(2pi x2a) - raiz2a sin(pi x2a) cdot raiz2a sin(2pi x1a) ] é
    Simplificando:
    Psiantissimétrica(x1, x2) = 2araiz2 [ sin(pi x1a) sin(2pi x2a) - sin(pi x2a) sin(2pi x1a) ] é

Resposta

As autofunções totais do sistema são:
  1. Função Simétrica:
    Psisimétrica(x1, x2) = 2araiz2 [ sin(pi x1a) sin(2pi x2a) + sin(pi x2a) sin(2pi x1a) ] é
  2. Função Antissimétrica:
    Psiantissimétrica(x1, x2) = 2araiz2 [ sin(pi x1a) sin(2pi x2a) - sin(pi x2a) sin(2pi x1a) ] é

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