Duas partículas se movem independentemenre em uma caixa unidimensional de comprimento
, uma estando no estado fundamental do potencial de poço quadrado infinito que descreve a caixa e a primeiro estado excitado do mesmo potencial. Para simplificar, suponha que as partículas não têm spin, de modo que as autofunçôes totais para o sistema sejam apenas autofunçõe espaciais.
Calcule as autofunções totais simétrica e antisimetrica.
Calcule as autofunções totais simétrica e antisimetrica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas partículas que estão se movendo de forma independente dentro de uma caixa unidimensional com comprimento
. Uma está no estado fundamental do potencial de poço quadrado infinito, e a outra está no primeiro estado excitado desse mesmo potencial. Nosso objetivo aqui é calcular as autofunções totais simétrica e antissimétrica desse sistema.
Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre as autofunções de partículas em potenciais confinados, como o poço quadrado infinito, e entender como combinar essas autofunções para formar estados simétricos e antissimétricos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as autofunções para uma partícula em um poço quadrado infinito de largura
. As autofunções são dadas por:
onde
é o número quântico principal, que determina o estado energético da partícula. Para o estado fundamental,
, e para o primeiro estado excitado,
.
Então, temos:
-
Para a primeira partícula no estado fundamental (
): -
Para a segunda partícula no primeiro estado excitado (
):
Passo 3
Agora, vamos falar sobre como combinar as autofunções de duas partículas. Quando temos duas partículas, a autofunção total do sistema é o produto das autofunções individuais. Então, a autofunção total sem qualquer simetrização seria:
No entanto, para sistemas de partículas indistinguíveis, precisamos considerar a simetria das funções de onda. Podemos ter dois tipos de combinações:
- Simétrica: A função de onda não muda quando trocamos as partículas.
- Antissimétrica: A função de onda muda de sinal quando trocamos as partículas.
Essas combinações são importantes, especialmente quando lidamos com partículas como férmions (que usam a combinação antissimétrica) ou bósons (que usam a simétrica).
Passo 4
Vamos construir agora as autofunções totais simétrica e antissimétrica.
-
Função Simétrica:Para tornar a função simétrica, somamos as duas possibilidades de configuração das partículas:
-
Função Antissimétrica:Para a função antissimétrica, subtraímos as duas possibilidades:
Esse fator
é uma normalização para garantir que a função de onda total tenha a probabilidade total igual a 1.
Passo 5
Agora, substituindo as expressões das autofunções individuais que encontramos no Passo 2, temos:
-
Função Simétrica:Simplificando:
-
Função Antissimétrica:Simplificando:
Resposta
As autofunções totais do sistema são:
-
Função Simétrica:
-
Função Antissimétrica: