Mostre que a densidade de probabilidade de um sistema de duas partículas é invariante sob mudança da partícula em si, para (a) a função de onda simétrica psiS e (b) antissimétrica psiA.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que a densidade de probabilidade de um sistema com duas partículas não muda quando trocamos uma partícula pela outra. Vamos abordar isso para duas situações diferentes: quando a função de onda é simétrica ( psiS) e quando é antissimétrica ( psiA). Para isso, vamos precisar entender o que é densidade de probabilidade e como as funções de onda simétricas e antissimétricas funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a densidade de probabilidade rho em mecânica quântica é dada pelo módulo ao quadrado da função de onda psi, ou seja:
rho(r1, r2) = |psi(r1, r2)|^2
Aqui, r1 e r2 são as posições das duas partículas.

Passo 3

Agora, vamos considerar a troca das partículas. Isso significa trocar as posições das partículas 1 e 2. Matemáticamente, essa troca é representada por permutar r1 e r2. Queremos mostrar que:
rho(r1, r2) = rho(r2, r1)
Ou seja, a densidade de probabilidade permanece a mesma mesmo após a troca.

Passo 4

Vamos começar com a função de onda simétrica psiS. Uma função de onda é simétrica se, ao trocar as partículas, a função não muda:
psiS(r1, r2) = psiS(r2, r1)
Então, calculando a densidade de probabilidade:
rhoS(r1, r2) = |psiS(r1, r2)|^2 = |psiS(r2, r1)|^2 = rhoS(r2, r1)
Isso mostra que para a função simétrica, a densidade de probabilidade é invariante sob troca de partículas.

Passo 5

Agora, vamos analisar a função de onda antissimétrica psiA. Nesse caso, ao trocar as partículas, a função de onda muda de sinal:
psiA(r1, r2) = -psiA(r2, r1)
Calculando a densidade de probabilidade:
rhoA(r1, r2) = |psiA(r1, r2)|^2 = |-psiA(r2, r1)|^2 = |psiA(r2, r1)|^2 = rhoA(r2, r1)
Apesar da função de onda ter trocado de sinal, o módulo ao quadrado elimina o sinal negativo, mantendo a densidade de probabilidade igual após a troca.

Resposta

Assim, mostramos que tanto para a função de onda simétrica psiS quanto para a antissimétrica psiA, a densidade de probabilidade rho permanece inalterada quando trocamos as partículas, ou seja, rho(r1, r2) = rho(r2, r1).

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