Mostre que a densidade de probabilidade de um sistema de duas partículas é invariante sob mudança da partícula em si, para (a) a função de onda simétrica
e (b) antissimétrica
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que a densidade de probabilidade de um sistema com duas partículas não muda quando trocamos uma partícula pela outra. Vamos abordar isso para duas situações diferentes: quando a função de onda é simétrica (
) e quando é antissimétrica (
). Para isso, vamos precisar entender o que é densidade de probabilidade e como as funções de onda simétricas e antissimétricas funcionam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a densidade de probabilidade
em mecânica quântica é dada pelo módulo ao quadrado da função de onda
, ou seja:
Aqui,
e
são as posições das duas partículas.
Passo 3
Agora, vamos considerar a troca das partículas. Isso significa trocar as posições das partículas 1 e 2. Matemáticamente, essa troca é representada por permutar
e
. Queremos mostrar que:
Ou seja, a densidade de probabilidade permanece a mesma mesmo após a troca.
Passo 4
Vamos começar com a função de onda simétrica
. Uma função de onda é simétrica se, ao trocar as partículas, a função não muda:
Então, calculando a densidade de probabilidade:
Isso mostra que para a função simétrica, a densidade de probabilidade é invariante sob troca de partículas.
Passo 5
Agora, vamos analisar a função de onda antissimétrica
. Nesse caso, ao trocar as partículas, a função de onda muda de sinal:
Calculando a densidade de probabilidade:
Apesar da função de onda ter trocado de sinal, o módulo ao quadrado elimina o sinal negativo, mantendo a densidade de probabilidade igual após a troca.
Resposta
Assim, mostramos que tanto para a função de onda simétrica
quanto para a antissimétrica
, a densidade de probabilidade
permanece inalterada quando trocamos as partículas, ou seja,
.