Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. lim x 2^- g(x)-g(2)x-2 onde g(x)=lx, se x >= 2 x^22, se x<2.

Passo 1

Então, a gente tem uma função que muda a sua expressão dependendo de ser maior ou igual a 2 ou menor que 2. A questão pede para calcular o limite . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites laterais, funções definidas por partes e como manipular expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o valor de g(2) = 2 . Como está na parte onde , usamos a primeira expressão da função:

Passo 3

Agora, como estamos calculando o limite quando g(x) = x^22 se aproxima de 2 pela esquerda ( ), isso significa que . Então, usamos a segunda expressão da função :

Passo 4

Substituímos limx 2^- x^22 - 2x - 2 e na expressão do limite:

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
x^22 - 2 = x^2 - 42 = (x - 2)(x + 2)2
Aqui, fatoramos como uma diferença de quadrados.

Passo 6

Substituímos de volta na expressão do limite:
limx 2^- (x - 2)(x + 2)2x - 2

Passo 7

Simplificamos a fração dividindo limx 2^- x + 22 do numerador pelo denominador:

Passo 8

Agora, substituímos 2 + 22 = 42 = 2 por 2 na expressão simplificada:

Resposta

O limite existe e é igual a 2.

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