Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício: temos a função . O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de derivadas, especificamente usando a Regra da Cadeia. Para resolver isso, vamos precisar saber derivar funções trigonométricas como a tangente e o seno, além de entender como aplicar a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que compõem essa composição. Temos uma função tangente ( ) que está aplicando uma função seno () sobre o termo . Isso significa que vamos precisar derivar uma função composta: uma função dentro da outra.

Passo 3

Lembra da Regra da Cadeia? Ela nos ajuda a derivar funções compostas. Se temos , então a derivada é . Aqui, e .

Passo 4

Vamos começar derivando a função externa . A derivada da tangente é .

Passo 5

Agora, derivamos a função interna . Para isso, usamos a Regra da Cadeia novamente. A derivada do seno é , já que a derivada de em relação a é .

Passo 6

Agora, aplicamos a Regra da Cadeia completa. Multiplicamos a derivada da função externa pela derivada da função interna:

Passo 7

Podemos simplificar um pouco essa expressão. Sabemos que , então temos:
Simplificando, ficamos com:

Resposta

A derivada da função é:

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.
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