Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício: temos a função . O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de derivadas, especificamente usando a Regra da Cadeia. Para resolver isso, vamos precisar saber derivar funções trigonométricas como a tangente e o seno, além de entender como aplicar a regra da cadeia para funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que compõem essa composição. Temos uma função tangente (
) que está aplicando uma função seno () sobre o termo
. Isso significa que vamos precisar derivar uma função composta: uma função dentro da outra.
Passo 3
Lembra da Regra da Cadeia? Ela nos ajuda a derivar funções compostas. Se temos
, então a derivada
é
. Aqui,
e .
Passo 4
Vamos começar derivando a função externa
. A derivada da tangente é
.
Passo 5
Agora, derivamos a função interna . Para isso, usamos a Regra da Cadeia novamente. A derivada do seno é
, já que a derivada de
em relação a
é
.
Passo 6
Agora, aplicamos a Regra da Cadeia completa. Multiplicamos a derivada da função externa pela derivada da função interna:
Passo 7
Podemos simplificar um pouco essa expressão. Sabemos que
, então temos:
Simplificando, ficamos com:
Resposta
A derivada da função é:
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Encontre as retas tangente e normal à curva
, em
, sabendo que
e
Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique.
onde
.
Analise a continuidade das funções abaixo nos seus domínios.
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