Calcule e justifique. lim x 3 raizx-raiz3x-3

Passo 1

Estamos lidando com o cálculo do limite . Esse exercício pertence à matéria de Cálculo, especificamente ao estudo de limites. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão para eliminar a indeterminação que aparece quando substituímos .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos raiz3 - raiz33 - 3 = 00 diretamente na expressão. Substituindo, temos:
Essa forma é uma indeterminação, o que significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Para eliminar a indeterminação, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador. O conjugado de raizx - raiz3x - 3 times raizx + raiz3raizx + raiz3 = (raizx)^2 - (raiz3)^2(x - 3)(raizx + raiz3) é . Isso ajuda a simplificar a expressão usando a identidade . Então, temos:

Passo 4

Simplificando o numerador:
(raizx)^2 = x e (raiz3)^2 = 3
Portanto, a expressão fica:
x - 3(x - 3)(raizx + raiz3)

Passo 5

Agora, podemos cancelar o termo 1raizx + raiz3 no numerador e no denominador:

Passo 6

Finalmente, substituímos 1raiz3 + raiz3 = 12raiz3 na expressão simplificada:

Resposta

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