Calcule, caso exista, ou justifique a não exitência: lim x 0^+[1x+ln x]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite de quando se aproxima de 0 pela direita. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo de Limites, e mais especificamente, vamos precisar entender como cada função se comporta perto de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da expressão separadamente. Temos dois termos: e .

Passo 3

Quando se aproxima de 0 pela direita (ou seja, valores positivos muito pequenos), tende ao infinito positivo ( ). Isso porque, quanto menor o denominador, maior o valor da fração.

Passo 4

Agora, vamos olhar para . Sabemos que tende a quando se aproxima de 0 pela direita. Isso acontece porque o logaritmo natural de números muito pequenos positivos é um número muito grande negativo.

Passo 5

Então, estamos lidando com uma situação onde uma parte da expressão vai para e a outra para . Isso parece ser uma indeterminação, mas precisamos ver qual das duas tendências domina.

Passo 6

Vamos comparar as taxas de crescimento. A função cresce para muito mais rapidamente do que decrece para . Isso significa que o termo “vem acima” do .

Passo 7

Portanto, mesmo que esteja puxando a expressão para , o crescimento infinito de faz com que o resultado total da soma seja .

Resposta

O limite é .

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