Calcule, caso exista, ou justifique a não exitência:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite de
quando
se aproxima de 0 pela direita. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo de Limites, e mais especificamente, vamos precisar entender como cada função se comporta perto de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada parte da expressão separadamente. Temos dois termos:
e
.
Passo 3
Quando
se aproxima de 0 pela direita (ou seja, valores positivos muito pequenos),
tende ao infinito positivo (
). Isso porque, quanto menor o denominador, maior o valor da fração.
Passo 4
Agora, vamos olhar para
. Sabemos que
tende a
quando
se aproxima de 0 pela direita. Isso acontece porque o logaritmo natural de números muito pequenos positivos é um número muito grande negativo.
Passo 5
Então, estamos lidando com uma situação onde uma parte da expressão vai para
e a outra para
. Isso parece ser uma indeterminação, mas precisamos ver qual das duas tendências domina.
Passo 6
Vamos comparar as taxas de crescimento. A função
cresce para
muito mais rapidamente do que
decrece para
. Isso significa que o termo
“vem acima” do
.
Passo 7
Portanto, mesmo que
esteja puxando a expressão para
, o crescimento infinito de
faz com que o resultado total da soma seja
.
Resposta
O limite é
.