Esboce o gráfico de duas das funções abaixo, realçando domínio, intervalos de crescimento e de decrescimento, pontos e valores de máximo e mínimo caso existam, retas assíntotas verticais e horizontais caso existam, concavidade, limites que você considerar importantes e outras informações que você puder identificar.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função . Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo, como derivadas, para encontrar onde a função está crescendo ou diminuindo, identificar pontos máximos e mínimos, concavidade, e verificar outros detalhes importantes. Vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivadas da função para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o domínio da função. A função dada é um polinômio, e polinômios estão definidos para todos os números reais. Então,
í

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada da função para encontrar onde ela está crescendo ou diminuindo. A derivada de em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo :
Dividindo todos os termos por 3:
Essa equação fatorada fica:
Então, temos um ponto crítico em:

Passo 5

Para determinar se a função está crescendo ou diminuindo nos intervalos definidos pelos pontos críticos, vamos analisar o sinal de .
Como , que sempre é maior ou igual a zero (já que qualquer número ao quadrado é positivo), concluímos que:
  • A função não diminui em nenhum intervalo.
  • A função cresce ou permanece constante.
No ponto , a derivada é zero, indicando um possível extremo.

Passo 6

Vamos verificar se é um ponto de máximo ou mínimo usando a segunda derivada. Calculamos:
Avaliando em :
Como a segunda derivada também é zero, precisamos analisar mais detalhadamente. Neste caso, como a primeira derivada não muda de sinal ao passar por (sempre positiva), é um ponto de inflexão e não um máximo ou mínimo.

Passo 7

Vamos analisar a concavidade da função usando a segunda derivada :
  • Quando , a função é côncava para cima.
  • Quando , a função é côncava para baixo.
Encontramos o ponto onde a concavidade muda:
Então:
  • Para , → concavidade para baixo.
  • Para , → concavidade para cima.

Passo 8

Vamos verificar os limites da função quando tende ao infinito e menos infinito:
Isso nos indica que a função vai para cima à medida que aumenta e para baixo à medida que diminui.

Passo 9

Como a função é um polinômio de grau 3, não há assíntotas verticais ou horizontais. As assíntotas geralmente aparecem em funções racionais ou exponenciais, mas não em polinômios.

Resposta

Resumo das principais características do gráfico da função :
  • Domínio: Todos os números reais ( ).
  • Crescimento: A função está crescendo em todo o domínio.
  • Ponto de inflexão: Em , a função muda a concavidade.
  • Concavidade:
    • Para : Concavidade para baixo.
    • Para : Concavidade para cima.
  • Limites:
  • Assíntotas: Não possui assíntotas verticais ou horizontais.
Com essas informações, você pode esboçar o gráfico da função, destacando o ponto de inflexão em e a mudança na concavidade.

Exercícios relacionados

Calcule, caso exista, ou justifique a não exitência: se
Uma caixa e seu conteúdo pesam 480 kg . Determine o menor tamanho da corrente, , que pode ser utilizada para levantar a caixa e seu conteúdo se a tração na corrente não pode exceder 3650 N. 1² lista de Exercício: Análise Estrutural - 2024-1
Esboce o gráfico de duas das funções abaixo, realçando domínio, intervalos de crescimento e de decrescimento, pontos e valores de máximo e mínimo caso existam, retas assíntotas verticais e horizontais caso existam, concavidade, limites que você considerar importantes e outras informações que você puder identificar.
Calcule, caso exista, ou justifique a não exitência: