Calcule
40) integral sin ^2 2 x cos ^2 3 x d x

Passo 1

Então, a gente tem o seguinte exercício para resolver:
integral sin^2(2x) cos^2(3x) , dx
Esse problema está na área de Cálculo Integral, mais especificamente em integrais que envolvem funções trigonométricas elevadas ao quadrado. Para resolver, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das identidades trigonométricas que transformam sin^2theta = 1 - cos(2theta)2 e cos^2theta = 1 + cos(2theta)2 em termos de cossenos duplos:
Vamos aplicar essas identidades às funções dentro da integral.

Passo 3

Aplicando as identidades às funções sin^2(2x) = 1 - cos(4x)2 e cos^2(3x) = 1 + cos(6x)2 :
integral (1 - cos(4x)2) (1 + cos(6x)2) , dx
Substituindo essas expressões na integral original:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão multiplicando os numeradores:
(1 - cos(4x)2) (1 + cos(6x)2) = (1 - cos(4x))(1 + cos(6x))4
Vamos expandir os termos no numerador:
(1 - cos(4x))(1 + cos(6x)) = 1 + cos(6x) - cos(4x) - cos(4x)cos(6x)
Então, a integral fica:
14 integral (1 + cos(6x) - cos(4x) - cos(4x)cos(6x)) , dx

Passo 5

Vamos integrar termo a termo:
14 [ integral 1 , dx + integral cos(6x) , dx - integral cos(4x) , dx - integral cos(4x)cos(6x) , dx ]
Sabemos que:
integral 1 , dx = x
integral cos(kx) , dx = sin(kx)k
Então, aplicando:
14 [ x + sin(6x)6 - sin(4x)4 - integral cos(4x)cos(6x) , dx ]

Passo 6

Agora, precisamos resolver a integral cos(A)cos(B) = cos(A+B) + cos(A-B)2 . Para isso, usamos a identidade do produto de cossenos:
cos(4x)cos(6x) = cos(10x) + cos(-2x)2 = cos(10x) + cos(2x)2
Aplicando com integral cos(4x)cos(6x) , dx = 12 integral cos(10x) + cos(2x) , dx e 12 ( sin(10x)10 + sin(2x)2 ) = sin(10x)20 + sin(2x)4 :
Então, a integral fica:
Integrando termo a termo:

Passo 7

Voltando à expressão anterior:
14 [ x + sin(6x)6 - sin(4x)4 - ( sin(10x)20 + sin(2x)4 ) ] + C
Distribuindo o 14 [ x + sin(6x)6 - sin(4x)4 - sin(10x)20 - sin(2x)4 ] + C :

Passo 8

Finalmente, distribuindo o x4 + sin(6x)24 - sin(4x)16 - sin(10x)80 - sin(2x)16 + C :

Resposta

A integral de x4 + sin(6x)24 - sin(4x)16 - sin(10x)80 - sin(2x)16 + C em relação a é:
onde é a constante de integração.

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