Calcule
40)
40)
Passo 1
Então, a gente tem o seguinte exercício para resolver:
Esse problema está na área de Cálculo Integral, mais especificamente em integrais que envolvem funções trigonométricas elevadas ao quadrado. Para resolver, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas para simplificar a expressão antes de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das identidades trigonométricas que transformam
e
em termos de cossenos duplos:
Vamos aplicar essas identidades às funções dentro da integral.
Passo 3
Aplicando as identidades às funções
e
:
Substituindo essas expressões na integral original:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a expressão multiplicando os numeradores:
Vamos expandir os termos no numerador:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos integrar termo a termo:
Sabemos que:
Então, aplicando:
Passo 6
Agora, precisamos resolver a integral
. Para isso, usamos a identidade do produto de cossenos:
Aplicando com
e
:
Então, a integral fica:
Integrando termo a termo:
Passo 7
Voltando à expressão anterior:
Distribuindo o
:
Passo 8
Finalmente, distribuindo o
:
Resposta
A integral de
em relação a
é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Enuncie precisamente um dos seguintes teoremas: Teorema do Anulamento, Teorema do Valor Intermediário, Teorema de Weierstrass, Teorema do Valor Médio. Faça um desenho para ilustrar o teorema que você enunciou.
Calcule, caso exista, ou justifique a não exitência:
Calcule
68)
68)
Calcule
44)
44)