Calcule
40)

Passo 1

Então, a gente tem o seguinte exercício para resolver:
Esse problema está na área de Cálculo Integral, mais especificamente em integrais que envolvem funções trigonométricas elevadas ao quadrado. Para resolver, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das identidades trigonométricas que transformam e em termos de cossenos duplos:
Vamos aplicar essas identidades às funções dentro da integral.

Passo 3

Aplicando as identidades às funções e :
Substituindo essas expressões na integral original:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão multiplicando os numeradores:
Vamos expandir os termos no numerador:
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos integrar termo a termo:
Sabemos que:
Então, aplicando:

Passo 6

Agora, precisamos resolver a integral . Para isso, usamos a identidade do produto de cossenos:
Aplicando com e :
Então, a integral fica:
Integrando termo a termo:

Passo 7

Voltando à expressão anterior:
Distribuindo o :

Passo 8

Finalmente, distribuindo o :

Resposta

A integral de em relação a é:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Enuncie precisamente um dos seguintes teoremas: Teorema do Anulamento, Teorema do Valor Intermediário, Teorema de Weierstrass, Teorema do Valor Médio. Faça um desenho para ilustrar o teorema que você enunciou.
Calcule, caso exista, ou justifique a não exitência:
Calcule
68)
Calcule
44)