Calcule, caso exista ou justifique a nâo exitência:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando
se aproxima de 0 da expressão
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e derivadas, especialmente a Regra de L’Hôpital, que é muito útil quando encontramos formas indefinidas como
.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
na expressão para ver o que acontece:
Como dá
, que é uma forma indeterminada, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
A Regra de L’Hôpital diz que se temos um limite na forma
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite dessa nova fração.
Passo 4
Vamos derivar o numerador e o denominador:
- Derivada do numerador
em relação a é . - Derivada do denominador
em relação a é .
Agora, o limite fica:
Passo 5
Ainda temos uma forma indeterminada
se substituirmos
. Então, aplicamos a Regra de L’Hôpital de novo.
Derivando novamente:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Agora, o limite fica:
Resposta
O limite é igual a
.