Calcule, caso exista ou justifique a nâo exitência: lim x 0 x^21-cos x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e derivadas, especialmente a Regra de L’Hôpital, que é muito útil quando encontramos formas indefinidas como .

Passo 2

Primeiro, vamos substituir 0^21 - cos 0 = 01 - 1 = 00 na expressão para ver o que acontece:
Como dá , que é uma forma indeterminada, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital diz que se temos um limite na forma ou , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite dessa nova fração.

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador limx 0 2xsin x em relação a é .
  • Derivada do denominador em relação a é .
Agora, o limite fica:

Passo 5

Ainda temos uma forma indeterminada limx 0 2cos x = 2cos 0 = 21 = 2 se substituirmos . Então, aplicamos a Regra de L’Hôpital de novo.
Derivando novamente:
  • Derivada de é .
  • Derivada de é .
Agora, o limite fica:

Resposta

O limite é igual a .

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