Calcule, caso exista ou justifique a não exitência:
Passo 1
Beleza, vamos calcular o limite
. Esse exercício está na área de Cálculo, mais especificamente sobre limites e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar conhecer a definição de limite, a função tangente (
) e provavelmente usar a regra de L’Hôpital ou séries de Taylor para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que
. Mas para simplificar, uma boa estratégia é usar a expansão em série de Taylor para
próximo de
. A série de Taylor de
em torno de 0 é:
Passo 3
Agora, substituímos essa expansão na expressão do limite:
Passo 4
Agora, colocamos isso de volta na fração original:
Passo 5
Agora, quando
tende a 0, os termos com
,
, etc., vão se aproximar de 0. Então, o limite fica:
Resposta
O limite
é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule, caso exista ou justifique a não exitência:
Determine, usando a definição, a derivada de
.
Esboce o gráfico de duas das funções abaixo, realçando domínio, intervalos de crescimento e de decrescimento, pontos e valores de máximo e mínimo caso existam, retas assíntotas verticais e horizontais caso existam, concavidade, limites que você considerar importantes e outras informações que você puder identificar.
Esboce o gráfico de duas das funções abaixo, realçando domínio, intervalos de crescimento e de decrescimento, pontos e valores de máximo e mínimo caso existam, retas assíntotas verticais e horizontais caso existam, concavidade, limites que você considerar importantes e outras informações que você puder identificar.