Calcule, caso exista ou justifique a não exitência: lim x 0 x-tg xx^3

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite . Esse exercício está na área de Cálculo, mais especificamente sobre limites e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar conhecer a definição de limite, a função tangente ( ) e provavelmente usar a regra de L’Hôpital ou séries de Taylor para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que tan x = x + x^33 + 2x^515 + dots . Mas para simplificar, uma boa estratégia é usar a expansão em série de Taylor para próximo de . A série de Taylor de em torno de 0 é:

Passo 3

Agora, substituímos essa expansão na expressão do limite:
x - tan x = x - ( x + x^33 + 2x^515 + dots ) = -x^33 - 2x^515 - dots

Passo 4

Agora, colocamos isso de volta na fração original:
x - tan xx^3 = -x^33 - 2x^515 - dots x^3 = -13 - 2x^215 - dots

Passo 5

Agora, quando limx 0 ( -13 - 2x^215 - dots ) = -13 tende a 0, os termos com , , etc., vão se aproximar de 0. Então, o limite fica:

Resposta

O limite é igual a .

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