Esboce o gráfico de duas das funções abaixo, realçando domínio, intervalos de crescimento e de decrescimento, pontos e valores de máximo e mínimo caso existam, retas assíntotas verticais e horizontais caso existam, concavidade, limites que você considerar importantes e outras informações que você puder identificar.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar o gráfico da função . Vamos utilizar conceitos de cálculo como domínio, derivadas para identificar intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de máximo e mínimo, assíntotas, concavidade e limites. Precisaremos entender como cada uma dessas partes funciona para montar o gráfico completinho.
Passo 2
Dominio da função
Primeiro, vamos descobrir onde a função está definida. A função é uma função racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. A função está definida para todos os valores de que não tornam o denominador zero.
Então, resolvemos :
Portanto, o domínio da função é:
Passo 3
Assíntotas
Vamos procurar as assíntotas verticais e horizontais.
Assíntota vertical:
Ocorrente quando o denominador se aproxima de zero. A função não está definida em , então temos uma assíntota vertical em .
Assíntota horizontal:
Para funções racionais, se o grau do numerador for igual ao grau do denominador, a assíntota horizontal é o coeficiente líder do numerador dividido pelo líder do denominador.
Aqui, grau do numerador é 2 e do denominador é 1. Como o grau do numerador é maior, na verdade teremos uma assíntota oblíqua. Para encontrá-la, fazemos a divisão polinomial:
Então, a assíntota oblíqua é .
Passo 4
Derivada da função e intervalos de crescimento/decrescimento
Para encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos calcular a derivada .
Primeiro, derivamos usando a regra do quociente:
Simplificando:
Agora, analisamos o sinal da derivada:
quando :
ou : função crescente.
quando : função decrescente.
Passo 5
Pontos de máximo e mínimo
Os pontos onde a derivada é zero ou não está definida são candidatos a máximos ou mínimos.
quando ou :
Em :
Mudança de crescente para decrescente: ponto de máximo.
Em :
Mudança de decrescente para crescente: ponto de mínimo.
Vamos calcular os valores:
Então, temos:
Máximo local em
Mínimo local em
Passo 6
Concavidade e ponto de inflexão
Calculamos a segunda derivada para analisar a concavidade:
Primeiro, derivamos :
Usando a regra do quociente:
Analisamos o sinal de :
quando (): concavidade para cima.
quando (): concavidade para baixo.
Não há pontos de inflexão, pois a mudança de concavidade ocorre na assíntota vertical , onde a função não está definida.
Passo 7
Limites importantes
Vamos analisar os limites da função:
Limite quando se aproxima de 1:
Ao substituir , obtemos , que tende ao infinito. Precisamos verificar pelo lado esquerdo e direito:
: , então
: , então
Limite quando tende ao infinito:
O termo tende a 0, então:
Isto confirma a presença da assíntota oblíqua .
Passo 8
Resumo das informações coletadas
Domínio:
Assíntota vertical:
Assíntota oblíqua:
Intervalos de crescimento:
Cresce em e
Intervalos de decrescimento:
Decresce em
Máximo local:
Mínimo local:
Concavidade:
Para baixo em
Para cima em
Limites importantes:
Resposta
Com todas essas informações, o gráfico da função apresenta:
Uma assíntota vertical em e uma assíntota oblíqua .
A função cresce em e , e decresce entre .
Possui um máximo local em e um mínimo local em .
A concavidade é para baixo quando e para cima quando .
Nos limites próximos à assíntota vertical, a função tende a pela esquerda e pela direita.
Quando tende ao infinito, o gráfico se aproxima da linha .
Assim, ao esboçar o gráfico, você deve considerar todas essas características para representar corretamente a função.