Esboce o gráfico de duas das funções abaixo, realçando domínio, intervalos de crescimento e de decrescimento, pontos e valores de máximo e mínimo caso existam, retas assíntotas verticais e horizontais caso existam, concavidade, limites que você considerar importantes e outras informações que você puder identificar.
f(x) = (x^2 - 2x + 2) / (x - 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar o gráfico da função . Vamos utilizar conceitos de cálculo como domínio, derivadas para identificar intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de máximo e mínimo, assíntotas, concavidade e limites. Precisaremos entender como cada uma dessas partes funciona para montar o gráfico completinho.

Passo 2

Dominio da função
Primeiro, vamos descobrir onde a função está definida. A função é uma função racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. A função está definida para todos os valores de que não tornam o denominador zero.
Então, resolvemos :
Portanto, o domínio da função é:

Passo 3

Assíntotas
Vamos procurar as assíntotas verticais e horizontais.
Assíntota vertical:
Ocorrente quando o denominador se aproxima de zero. A função não está definida em , então temos uma assíntota vertical em .
Assíntota horizontal:
Para funções racionais, se o grau do numerador for igual ao grau do denominador, a assíntota horizontal é o coeficiente líder do numerador dividido pelo líder do denominador.
Aqui, grau do numerador é 2 e do denominador é 1. Como o grau do numerador é maior, na verdade teremos uma assíntota oblíqua. Para encontrá-la, fazemos a divisão polinomial:
Então, a assíntota oblíqua é .

Passo 4

Derivada da função e intervalos de crescimento/decrescimento
Para encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos calcular a derivada .
Primeiro, derivamos usando a regra do quociente:
Simplificando:
Agora, analisamos o sinal da derivada:
  • quando :
    • ou : função crescente.
  • quando : função decrescente.

Passo 5

Pontos de máximo e mínimo
Os pontos onde a derivada é zero ou não está definida são candidatos a máximos ou mínimos.
  • quando ou :
    • Em :
      • Mudança de crescente para decrescente: ponto de máximo.
    • Em :
      • Mudança de decrescente para crescente: ponto de mínimo.
Vamos calcular os valores:
Então, temos:
  • Máximo local em
  • Mínimo local em

Passo 6

Concavidade e ponto de inflexão
Calculamos a segunda derivada para analisar a concavidade:
Primeiro, derivamos :
Usando a regra do quociente:
Analisamos o sinal de :
  • quando ( ): concavidade para cima.
  • quando ( ): concavidade para baixo.
Não há pontos de inflexão, pois a mudança de concavidade ocorre na assíntota vertical , onde a função não está definida.

Passo 7

Limites importantes
Vamos analisar os limites da função:
  1. Limite quando se aproxima de 1:
Ao substituir , obtemos , que tende ao infinito. Precisamos verificar pelo lado esquerdo e direito:
  • : , então
  • : , então
  1. Limite quando tende ao infinito:
O termo tende a 0, então:
Isto confirma a presença da assíntota oblíqua .

Passo 8

Resumo das informações coletadas
  • Domínio:
  • Assíntota vertical:
  • Assíntota oblíqua:
  • Intervalos de crescimento:
    • Cresce em e
  • Intervalos de decrescimento:
    • Decresce em
  • Máximo local:
  • Mínimo local:
  • Concavidade:
    • Para baixo em
    • Para cima em
  • Limites importantes:

Resposta

Com todas essas informações, o gráfico da função apresenta:
  • Uma assíntota vertical em e uma assíntota oblíqua .
  • A função cresce em e , e decresce entre .
  • Possui um máximo local em e um mínimo local em .
  • A concavidade é para baixo quando e para cima quando .
  • Nos limites próximos à assíntota vertical, a função tende a pela esquerda e pela direita.
  • Quando tende ao infinito, o gráfico se aproxima da linha .
Assim, ao esboçar o gráfico, você deve considerar todas essas características para representar corretamente a função.

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Esboce o gráfico de duas das funções abaixo, realçando domínio, intervalos de crescimento e de decrescimento, pontos e valores de máximo e mínimo caso existam, retas assíntotas verticais e horizontais caso existam, concavidade, limites que você considerar importantes e outras informações que você puder identificar.
f(x) = (x + 1)^(2/3)
Calcule, caso exista ou justifique a não exitência: lim x 0 x-tg xx^3
Escolha uma das duas questões abaixo:
Mostre que A = { y em R | y = x / (1 + x^2) } e -2 <= x <= 2 é um intervalo fechado, citando os dois teoremas imprescindíveis para a demonstração.
Esboce o gráfico de duas das funções abaixo, realçando domínio, intervalos de crescimento e de decrescimento, pontos e valores de máximo e mínimo caso existam, retas assíntotas verticais e horizontais caso existam, concavidade, limites que você considerar importantes e outras informações que você puder identificar.
f(x) = x^2 + e^x