Esboce o gráfico de duas das funções abaixo, realçando domínio, intervalos de crescimento e de decrescimento, pontos e valores de máximo e mínimo caso existam, retas assíntotas verticais e horizontais caso existam, concavidade, limites que você considerar importantes e outras informações que você puder identificar.
f(x) = (x + 1)^(2/3)

Passo 1

Beleza, então vamos esboçar o gráfico da função . Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de cálculo como domínio, derivadas para identificar onde a função cresce ou decresce, pontos de máximo e mínimo, além de verificar possíveis assíntotas e a concavidade. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
Aqui, temos uma raiz de índice 3 (cubo) elevada ao quadrado. Como a raiz cúbica está bem definida para todo número real (positivo, negativo ou zero), e ao elevar ao quadrado não temos restrições adicionais, o domínio da função é todo o conjunto dos números reais.
Então:
íú

Passo 3

Agora, vamos descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, precisamos calcular a derivada da função .
A derivada nos mostra a inclinação da função em cada ponto. Se a derivada é positiva, a função está crescendo; se for negativa, está decrescendo.
Calculando a derivada:
Agora, vamos analisar o sinal de :
  • Quando , ⇒ função cresce.
  • Quando , ⇒ função decresce.
  • Em , a derivada não está definida (técnicamente, tende a ).
Então:

Passo 4

Vamos identificar os pontos críticos e possíveis máximos ou mínimos.
Pontos críticos ocorrem onde a derivada é zero ou não está definida. No nosso caso, a derivada não está definida em .
Vamos analisar o comportamento em :
  • Quando se aproxima de -1 pela direita ( ), .
  • Quando se aproxima de -1 pela esquerda ( ), .
Isso sugere que em a função tem um ponto de inflexão e não um máximo ou mínimo.
Além disso, calculando .
Então:
íã

Passo 5

Agora, vamos ver se existem assíntotas. Assíntotas são linhas que a função se aproxima mas nunca toca.
Para encontrar assíntotas horizontais, verificamos os limites da função quando tende a :
Não há valores finitos que a função se aproxima, então não existem assíntotas horizontais.
Para assíntotas verticais, verificamos onde a derivada não está definida. Já vimos que em , mas isso corresponde a um ponto de inflexão, não a uma assíntota vertical.
Então:
í

Passo 6

Vamos investigar a concavidade da função e encontrar possíveis pontos de inflexão. Para isso, calculamos a segunda derivada.
Calculando a segunda derivada:
Analisando o sinal de :
  • Para , ⇒ concavidade para baixo.
  • Para , ⇒ concavidade para baixo.
Como a concavidade não muda, a função é sempre côncava para baixo, mas no ponto há uma mudança no comportamento da derivada, caracterizando um ponto de inflexão.
Então:
ã

Passo 7

Finalmente, vamos plotar o gráfico com todas as informações coletadas:
  • Domínio: todos os reais.
  • Crescimento: cresce para .
  • Decrescimento: decresce para .
  • Ponto crítico: (ponto de inflexão).
  • Assíntotas: nenhuma.
  • Concavidade: sempre para baixo.
O gráfico terá uma curva suave que toca o ponto , decrescendo à esquerda desse ponto e crescendo à direita, com concavidade voltada para baixo em toda a extensão.

Resposta

O gráfico da função é definido para todos os valores reais, decresce quando , cresce quando , possui um ponto de inflexão em , não tem assíntotas e é sempre côncava para baixo.

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