Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
em que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
, onde a função
é definida por:
Aqui, estamos trabalhando com conceitos de limites e derivadas, especificamente a definição da derivada de uma função no ponto
. Vamos precisar analisar o comportamento da função à esquerda e à direita de
para ver se o limite existe.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de
. Como
, usamos a primeira parte da função:
Então, o limite fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar o limite pela esquerda (
se aproximando de 1 pelo lado inferior, ou seja,
). Nesse caso, usamos
:
Podemos fatorar o numerador:
Substituindo:
Agora, calculamos o limite:
Passo 4
Em seguida, vamos analisar o limite pela direita (
se aproximando de 1 pelo lado superior, ou seja,
). Aqui, usamos
:
Podemos fatorar o numerador:
Substituindo:
Então, o limite é:
Passo 5
Como o limite pela esquerda e pela direita são iguais:
Então, o limite geral existe e é igual a 2.
Resposta
O limite
existe e é igual a
.
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