Calcule, caso exista. Se não existir, justifique. lim x 1 f(x)-f(1)x-1 em que f(x)= x^2 & se x <= 1 2 x-1 & se x>1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x 1 f(x)-f(1)x-1, onde a função f(x) é definida por:
f(x)= x^2 & se x <= 1 2x - 1 & se x > 1
Aqui, estamos trabalhando com conceitos de limites e derivadas, especificamente a definição da derivada de uma função no ponto x = 1. Vamos precisar analisar o comportamento da função à esquerda e à direita de x = 1 para ver se o limite existe.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de f(1). Como 1 <= 1, usamos a primeira parte da função:
f(1) = 1^2 = 1
Então, o limite fica:
lim x 1 f(x) - 1x - 1

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite pela esquerda ( x se aproximando de 1 pelo lado inferior, ou seja, x < 1). Nesse caso, usamos f(x) = x^2:
lim x 1^- x^2 - 1x - 1
Podemos fatorar o numerador:
x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)
Substituindo:
(x - 1)(x + 1)x - 1 = x + 1
Agora, calculamos o limite:
lim x 1^- (x + 1) = 1 + 1 = 2

Passo 4

Em seguida, vamos analisar o limite pela direita ( x se aproximando de 1 pelo lado superior, ou seja, x > 1). Aqui, usamos f(x) = 2x - 1:
lim x 1^+ 2x - 1 - 1x - 1 = lim x 1^+ 2x - 2x - 1
Podemos fatorar o numerador:
2x - 2 = 2(x - 1)
Substituindo:
2(x - 1)x - 1 = 2
Então, o limite é:
lim x 1^+ 2 = 2

Passo 5

Como o limite pela esquerda e pela direita são iguais:
lim x 1^- f(x) - f(1)x - 1 = 2
lim x 1^+ f(x) - f(1)x - 1 = 2
Então, o limite geral existe e é igual a 2.

Resposta

O limite lim x 1 f(x)-f(1)x-1 existe e é igual a 2.

Exercícios relacionados