Calcule, caso exista. Se não existir, justifique. em que

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: , onde a função é definida por:
Aqui, estamos trabalhando com conceitos de limites e derivadas, especificamente a definição da derivada de uma função no ponto . Vamos precisar analisar o comportamento da função à esquerda e à direita de para ver se o limite existe.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de . Como , usamos a primeira parte da função:
Então, o limite fica:

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite pela esquerda ( se aproximando de 1 pelo lado inferior, ou seja, ). Nesse caso, usamos :
Podemos fatorar o numerador:
Substituindo:
Agora, calculamos o limite:

Passo 4

Em seguida, vamos analisar o limite pela direita ( se aproximando de 1 pelo lado superior, ou seja, ). Aqui, usamos :
Podemos fatorar o numerador:
Substituindo:
Então, o limite é:

Passo 5

Como o limite pela esquerda e pela direita são iguais:
Então, o limite geral existe e é igual a 2.

Resposta

O limite existe e é igual a .

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