(3,0) Calcule, caso existam, os seguintes limites:
(d) lim t 2 F(t), onde F(t)=t^3-8t^2-4 i+cos (pi / t)t-2 j+2 t k

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite do vetor F(t) quando t se aproxima de 2. A função F(t) é composta por três componentes:
  • t^3-8t^2-4 i
  • cos (pi / t)t-2 j
  • 2 t k
Para resolver isso, vamos calcular o limite de cada componente separadamente usando técnicas de fatoração, limites de funções trigonométricas e a regra de L’Hôpital quando necessário.

Passo 2

Vamos começar com a primeira componente, t^3-8t^2-4 i.
Primeiro, fatoramos o numerador e o denominador:
  • t^3-8 pode ser fatorado como uma diferença de cubos: (t-2)(t^2+2t+4)
  • t^2-4 é uma diferença de quadrados: (t-2)(t+2)
Substituindo na fração:
(t-2)(t^2+2t+4)(t-2)(t+2)
Podemos cancelar o termo (t-2):
t^2+2t+4t+2
Agora, substituímos t = 2:
2^2+2(2)+42+2 = 4+4+44 = 124 = 3
Então, a componente i tende a 3 quando t se aproxima de 2.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente, cos (pi / t)t-2 j.
Ao substituir t = 2, temos:
cos (pi / 2)2-2 = 00
Isso resulta em uma forma indeterminada. Para resolver isso, usamos a regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador, f(t) = cos (pi / t):
    f'(t) = sin (pi / t) cdot pit^2
  • Derivada do denominador, g(t) = t - 2:
    g'(t) = 1
Aplicando a regra de L’Hôpital:
limt 2 f'(t)g'(t) = limt 2 sin (pi / t) cdot pit^2
Substituindo t = 2:
sin (pi / 2) cdot pi4 = 1 cdot pi4 = pi4
Portanto, a componente j tende a pi4 quando t se aproxima de 2.

Passo 4

Finalmente, vamos calcular a terceira componente, 2 t k.
Substituindo t = 2:
2 times 2 = 4
Então, a componente k tende a 4 quando t se aproxima de 2.

Resposta

Portanto, o limite de F(t) quando t se aproxima de 2 é:
lim t 2 F(t) = 3, i + pi4, j + 4, k

Exercícios relacionados

(2,0) Verifique se a função dada por
f(x)= sen(x^2+y^2)x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 1, & se (x, y)=(0,0)
é contínua no ponto P=(0,0).
Determine o diferencial total da função
b) z = 3 ln(x y) + y sen(x)
2,0 Calcule a derivada das curvas dadas a seguir:
(a) F(t) = (3t - 2) / (2t + 4) i + ln(1 + t^2) j + pi k
2,0 Calcule a derivada das curvas dadas a seguir:
(b) F(t) = sent cos(t) i + e^(-2t) j + 2t^2 k