Calcule, caso existam, os seguintes limites:
(d) , onde F(t)=t^3-8t^2-4 i+cos (pi / t)t-2 j+2 t k
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite do vetor F(t) quando t se aproxima de 2. A função F(t) é composta por três componentes:
t^3-8t^2-4 i
cos (pi / t)t-2 j
2 t k
Para resolver isso, vamos calcular o limite de cada componente separadamente usando técnicas de fatoração, limites de funções trigonométricas e a regra de L’Hôpital quando necessário.
Passo 2
Vamos começar com a primeira componente, t^3-8t^2-4 i.
Primeiro, fatoramos o numerador e o denominador:
t^3-8 pode ser fatorado como uma diferença de cubos: (t-2)(t^2+2t+4)
t^2-4 é uma diferença de quadrados: (t-2)(t+2)
Substituindo na fração:
(t-2)(t^2+2t+4)(t-2)(t+2)
Podemos cancelar o termo (t-2):
t^2+2t+4t+2
Agora, substituímos t = 2:
2^2+2(2)+42+2 = 4+4+44 = 124 = 3
Então, a componente i tende a 3 quando t se aproxima de 2.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda componente, cos (pi / t)t-2 j.
Ao substituir t = 2, temos:
cos (pi / 2)2-2 = 00
Isso resulta em uma forma indeterminada. Para resolver isso, usamos a regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador: