(2,0) Verifique se a função dada por
f(x)= sen(x^2+y^2)x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 1, & se (x, y)=(0,0)
é contínua no ponto P=(0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida de forma diferente quando o ponto é ou não. O enunciado quer saber se essa função é contínua nesse ponto específico. O conteúdo relacionado aqui é limites de funções de várias variáveis e continuidade. Para resolver, a gente vai precisar entender como calcular o limite da função quando se aproxima de e comparar com o valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a definição da função:
f(x, y) = sin(x^2 + y^2)x^2 + y^2, & se (x, y) neq (0,0) 1, & se (x, y) = (0,0)
Queremos verificar se .

Passo 3

Vamos calcular o limite limu to 0 sin uu . Para facilitar, vamos fazer uma substituição: seja . Quando se aproxima de , se aproxima de 0.
Então, o limite vira:

Passo 4

Sabemos da matemática que . Essa é uma limitação clássica importante envolvendo a função seno.

Passo 5

Com isso, concluímos que:
lim(x,y) to (0,0) f(x, y) = limu to 0 sin uu = 1
E olhamos para o valor da função no ponto f(0,0) = 1 :

Resposta

Como o limite da função quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto, a função é contínua no ponto .

Exercícios relacionados

Determine o diferencial total da função
b) z = 3 ln(x y) + y sen(x)
(2,0) Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limites:
(a) lim (x, y) (0,0) 2 x yx^2+y^2
(3,0) Calcule, caso existam, os seguintes limites:
(d) lim t 2 F(t), onde F(t)=t^3-8t^2-4 i+cos (pi / t)t-2 j+2 t k
2,0 Calcule a derivada das curvas dadas a seguir:
(a) F(t) = (3t - 2) / (2t + 4) i + ln(1 + t^2) j + pi k