2,0 Calcule a derivada das curvas dadas a seguir:
(a) F(t) = (3t - 2) / (2t + 4) i + ln(1 + t^2) j + pi k

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função vetorial e o que a gente precisa fazer é calcular a derivada dela em relação a . Isso faz parte do cálculo diferencial, onde vamos diferenciar cada componente dessa função vetorial separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar a componente na direção de , que é .
Para isso, vamos usar a regra do quociente. A regra do quociente nos diz que, se temos uma função da forma , a derivada dela é:
Aqui, identificamos:
Agora, derivando cada um:
Aplicando na fórmula:
Simplificando o numerador:
ã
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos para a componente na direção de , que é .
Aqui, usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é .
Identificando:
  • Então,
Aplicando a regra da cadeia:

Passo 4

Por último, vamos para a componente na direção de , que é .
Essa é uma constante, e a derivada de uma constante em relação a é zero. Então:

Resposta

A derivada da função vetorial é:

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