Uma caixa sem tampa deve ter o volume de 32000 m^3. Determine as dimensões que minimizem a quantidade de material utilizado na fabricação da caixa. ( 2,0 pontos)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos uma caixa sem tampa que deve ter um volume de . Nosso objetivo é encontrar as dimensões (comprimento, largura e altura) dessa caixa de maneira que a quantidade de material utilizado na sua fabricação seja a menor possível. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de otimização em cálculo, focando em minimizar a área superficial da caixa.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis:
  • = comprimento da caixa (em metros)
  • = largura da caixa (em metros)
  • = altura da caixa (em metros)
Como a caixa não tem tampa, a área superficial que queremos minimizar é composta pela base e pelas quatro laterais:
Á

Passo 3

Sabemos que o volume da caixa é dado por:
Podemos usar essa equação para expressar uma das variáveis em termos das outras duas. Para simplificar, vamos resolver para :

Passo 4

Agora, substituímos na fórmula da área:
Á
Simplificando:
Á

Passo 5

Para minimizar a área, vamos encontrar as derivadas parciais em relação a e e igualá-las a zero.
Primeira derivada parcial em relação a :
Á
Resolvendo para :
Segunda derivada parcial em relação a :
Á
Resolvendo para :

Passo 6

Observando as duas equações:
Dividindo a equação 1 pela equação 2:
Isso significa que o comprimento e a largura são iguais.

Passo 7

Como , podemos chamar ambos de . Então, a equação do volume fica:
Substituindo na equação da área:
Á
Simplificando:
Á

Passo 8

Para minimizar a área, derivamos em relação a e igualamos a zero:
Á
Resolvendo para :

Passo 9

Com , podemos encontrar :

Resposta

As dimensões que minimizam a quantidade de material utilizado na fabricação da caixa são:
  • Comprimento:
  • Largura:
  • Altura:

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