Uma caixa sem tampa deve ter o volume de
. Determine as dimensões que minimizem a quantidade de material utilizado na fabricação da caixa. ( 2,0 pontos)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos uma caixa sem tampa que deve ter um volume de
. Nosso objetivo é encontrar as dimensões (comprimento, largura e altura) dessa caixa de maneira que a quantidade de material utilizado na sua fabricação seja a menor possível. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de otimização em cálculo, focando em minimizar a área superficial da caixa.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis:
-
= comprimento da caixa (em metros) -
= largura da caixa (em metros) -
= altura da caixa (em metros)
Como a caixa não tem tampa, a área superficial que queremos minimizar é composta pela base e pelas quatro laterais:
Passo 3
Sabemos que o volume da caixa é dado por:
Podemos usar essa equação para expressar uma das variáveis em termos das outras duas. Para simplificar, vamos resolver para
:
Passo 4
Agora, substituímos
na fórmula da área:
Simplificando:
Passo 5
Para minimizar a área, vamos encontrar as derivadas parciais em relação a
e
e igualá-las a zero.
Primeira derivada parcial em relação a
:
Resolvendo para
:
Segunda derivada parcial em relação a
:
Resolvendo para
:
Passo 6
Observando as duas equações:
Dividindo a equação 1 pela equação 2:
Isso significa que o comprimento e a largura são iguais.
Passo 7
Como
, podemos chamar ambos de
. Então, a equação do volume fica:
Substituindo na equação da área:
Simplificando:
Passo 8
Para minimizar a área, derivamos em relação a
e igualamos a zero:
Resolvendo para
:
Passo 9
Com
, podemos encontrar
:
Resposta
As dimensões que minimizam a quantidade de material utilizado na fabricação da caixa são:
- Comprimento:
- Largura:
- Altura: