Calcule o centro de massa de uma haste com uma distribuição uniforme de massa, de comprimento
e massa
.
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente tem uma haste (ou vareta) que tem um comprimento
e uma massa total
distribuída de maneira uniforme. Nosso objetivo aqui é calcular o centro de massa dessa haste. Isso faz parte da Mecânica, mais especificamente do estudo de como a massa está distribuída em um objeto e onde está concentrada esse “peso” no objeto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o centro de massa. Imagine que você quer equilibrar a haste em um ponto; o centro de massa é exatamente esse ponto onde a haste fica equilibrada. Para objetos com distribuição uniforme de massa, o centro de massa está no meio do objeto.
Passo 3
Como a distribuição de massa é uniforme, a densidade linear da haste é constante. A densidade linear
é definida como a massa por unidade de comprimento:
Isso significa que cada pedacinho da haste tem a mesma quantidade de massa.
Passo 4
Para encontrar o centro de massa, usamos a fórmula:
Aqui,
é a posição ao longo da haste e
é um elemento infinitesimal de massa. Como a densidade é uniforme, podemos substituir
por
:
Passo 5
Substituindo
na integral:
Agora, vamos calcular a integral:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão de
:
Isso significa que o centro de massa está exatamente no meio da haste.
Resposta
O centro de massa da haste está localizado a uma distância
do ponto inicial, ou seja, exatamente no meio da haste.