Calcule o centro de massa de uma haste com uma distribuição uniforme de massa, de comprimento L e massa M.

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem uma haste (ou vareta) que tem um comprimento e uma massa total distribuída de maneira uniforme. Nosso objetivo aqui é calcular o centro de massa dessa haste. Isso faz parte da Mecânica, mais especificamente do estudo de como a massa está distribuída em um objeto e onde está concentrada esse “peso” no objeto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o centro de massa. Imagine que você quer equilibrar a haste em um ponto; o centro de massa é exatamente esse ponto onde a haste fica equilibrada. Para objetos com distribuição uniforme de massa, o centro de massa está no meio do objeto.

Passo 3

Como a distribuição de massa é uniforme, a densidade linear da haste é constante. A densidade linear lambda = ML é definida como a massa por unidade de comprimento:
Isso significa que cada pedacinho da haste tem a mesma quantidade de massa.

Passo 4

Para encontrar o centro de massa, usamos a fórmula:
xcm = 1M integral0^L x , dm
Aqui, xcm = 1M integral0^L x , lambda , dx é a posição ao longo da haste e é um elemento infinitesimal de massa. Como a densidade é uniforme, podemos substituir por :

Passo 5

Substituindo xcm = 1M cdot ML integral0^L x , dx = 1L integral0^L x , dx na integral:
integral0^L x , dx = [ x^22 ]0^L = L^22
Agora, vamos calcular a integral:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão de xcm = 1L cdot L^22 = L2 :
Isso significa que o centro de massa está exatamente no meio da haste.

Resposta

O centro de massa da haste está localizado a uma distância do ponto inicial, ou seja, exatamente no meio da haste.

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