Uma partícula de massa decai em duas de massas e . Encontre a velocidade do múon em termos de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que uma partícula com massa decai em duas partículas menores com massas e . Nosso objetivo é encontrar a velocidade do múon (uma dessas partículas, suponho) em relação à velocidade da luz . Para resolver isso, vamos precisar usar os princípios de conservação de energia e momento na física, além de entender um pouco sobre a relatividade especial.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar que a partícula inicial está em repouso antes da decaída. Então, o momento total antes da decaída é zero. Como o momento deve ser conservado, os momentos das duas partículas após a decaída devem se anular mutuamente.

Passo 3

O momento de uma partícula é dado por , onde é o fator de Lorentz, é a massa da partícula e é a velocidade dela.

Passo 4

Como o momento total é zero, temos:
Assumindo que uma das partículas é o múon e queremos a velocidade dele, vamos chamar essa partícula de .

Passo 5

A energia total antes da decaída é apenas a energia de repouso da partícula inicial:

Passo 6

Após a decaída, a energia total é a soma das energias das duas partículas:

Passo 7

Como a energia total é conservada, temos:
Simplificando, fica:

Passo 8

Agora, como o momento total é zero, podemos relacionar as velocidades das duas partículas:
Se assumirmos que uma partícula está indo em uma direção e a outra na direção oposta, podemos dizer que .

Passo 9

Substituindo na equação do momento, temos:
Como os termos são positivos, isso reforça que as partículas estão se movendo em direções opostas.

Passo 10

Vamos agora resolver para . A partir da equação da energia:
E da conservação do momento:
Podemos expressar em termos de :
Substituindo na equação da energia:

Passo 11

Agora, lembrando que:
Então:
Invertendo ambos os lados:
Elevando ao quadrado:

Resposta

A velocidade do múon em termos de é:

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