Uma partícula de massa M decai em duas de massas m1 e m2. Encontre a velocidade do múon em termos de c.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que uma partícula com massa decai em duas partículas menores com massas e . Nosso objetivo é encontrar a velocidade do múon (uma dessas partículas, suponho) em relação à velocidade da luz . Para resolver isso, vamos precisar usar os princípios de conservação de energia e momento na física, além de entender um pouco sobre a relatividade especial.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar que a partícula inicial está em repouso antes da decaída. Então, o momento total antes da decaída é zero. Como o momento deve ser conservado, os momentos das duas partículas após a decaída devem se anular mutuamente.

Passo 3

O momento de uma partícula é dado por , onde é o fator de Lorentz, é a massa da partícula e é a velocidade dela.

Passo 4

Como o momento total é zero, temos:
gamma1 m1 v1 = gamma2 m2 v2
Assumindo que uma das partículas é o múon e queremos a velocidade dele, vamos chamar essa partícula de .

Passo 5

A energia total antes da decaída é apenas a energia de repouso da partícula inicial:
Etotal = M c^2

Passo 6

Após a decaída, a energia total é a soma das energias das duas partículas:
Etotal = gamma1 m1 c^2 + gamma2 m2 c^2

Passo 7

Como a energia total é conservada, temos:
M c^2 = gamma1 m1 c^2 + gamma2 m2 c^2
Simplificando, fica:
M = gamma1 m1 + gamma2 m2

Passo 8

Agora, como o momento total é zero, podemos relacionar as velocidades das duas partículas:
gamma1 m1 v1 = gamma2 m2 v2
Se assumirmos que uma partícula está indo em uma direção e a outra na direção oposta, podemos dizer que .

Passo 9

Substituindo gamma1 m1 v1 = gamma2 m2 (-v1) na equação do momento, temos:
gamma1 m1 = -gamma2 m2
Como os termos são positivos, isso reforça que as partículas estão se movendo em direções opostas.

Passo 10

Vamos agora resolver para M = gamma1 m1 + gamma2 m2 . A partir da equação da energia:
gamma1 m1 = gamma2 m2
E da conservação do momento:
gamma2 = gamma1 m1m2
Podemos expressar M = gamma1 m1 + gamma1 m1m2 m2 em termos de M = gamma1 m1 + gamma1 m1 :
M = 2 gamma1 m1
Substituindo na equação da energia:
gamma1 = M2 m1

Passo 11

Agora, lembrando que:
gamma1 = 1raiz1 - v1^2c^2
Então:
M2 m1 = 1raiz1 - v1^2c^2
Invertendo ambos os lados:
raiz1 - v1^2c^2 = 2 m1M
Elevando ao quadrado:
1 - v1^2c^2 = ( 2 m1M )^2
v1^2c^2 = 1 - ( 2 m1M )^2
v1c = raiz1 - ( 2 m1M )^2

Resposta

A velocidade do múon em termos de v1c = raiz1 - ( 2 m1M )^2 é:

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