Calcule o centro de massa de um quarto de disco de raio R e massa M.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um quarto de disco com raio e massa e precisa achar o centro de massa dele. Esse exercício está dentro da matéria de estática, especificamente sobre centro de massa de figuras planas. Para resolver, vamos precisar usar integrais em coordenadas polares e entender um pouco sobre simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como está o nosso quarto de disco. Imagine um círculo completo dividido em quatro partes iguais, e a gente pega uma dessas partes. Por simetria, o centro de massa vai estar igualmente distante dos dois eixos que dividem o círculo. Então, só precisamos calcular uma das coordenadas, já que a outra será igual.

Passo 3

Vamos usar coordenadas polares porque o disco é uma figura circular. Em coordenadas polares, qualquer ponto é definido por um raio e um ângulo . Para um quarto de disco, vai de a e vai de a radianos.

Passo 4

A fórmula para encontrar a coordenada barx = 1M integral x , dm do centro de massa é:
Como a densidade é uniforme, , onde Á. A área do quarto de disco é , então .

Passo 5

Substituindo barx = 4pi R^2 integral0^pi2 integral0^R r costheta cdot r , dr , dtheta e barx = 4pi R^2 ( integral0^pi2 costheta , dtheta ) ( integral0^R r^2 , dr ) = 4pi R^2 ( 1 ) ( R^33 ) = 4R3pi na integral, temos:
Resolvendo as integrais:
Como por simetria , então .

Resposta

O centro de massa está localizado no ponto .

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