Calcule o centro de massa de um quarto de disco de raio
e massa
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um quarto de disco com raio
e massa
e precisa achar o centro de massa dele. Esse exercício está dentro da matéria de estática, especificamente sobre centro de massa de figuras planas. Para resolver, vamos precisar usar integrais em coordenadas polares e entender um pouco sobre simetria.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como está o nosso quarto de disco. Imagine um círculo completo dividido em quatro partes iguais, e a gente pega uma dessas partes. Por simetria, o centro de massa vai estar igualmente distante dos dois eixos que dividem o círculo. Então, só precisamos calcular uma das coordenadas, já que a outra será igual.
Passo 3
Vamos usar coordenadas polares porque o disco é uma figura circular. Em coordenadas polares, qualquer ponto é definido por um raio
e um ângulo
. Para um quarto de disco,
vai de
a
e
vai de
a
radianos.
Passo 4
A fórmula para encontrar a coordenada
do centro de massa é:
Como a densidade é uniforme,
, onde
. A área do quarto de disco é
, então
.
Passo 5
Substituindo
e
na integral, temos:
Resolvendo as integrais:
Como por simetria
, então
.
Resposta
O centro de massa está localizado no ponto
.