Calcule: checkmark(1 p vee q vee a) Leftrightarrow(q vee neg p vee r)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a equivalência lógica entre duas expressões: (neg p vee q vee a) Leftrightarrow (q vee neg p vee r). Aqui, estamos trabalhando com lógica proposicional, especificamente com operadores lógicos como a negação ( neg), a disjunção ( vee) e a bicondicional ( Leftrightarrow). Para resolver isso, vamos analisar quando essas duas expressões são verdadeiras ou falsas e ver se elas sempre têm o mesmo valor lógico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada parte da expressão significa. A expressão (neg p vee q vee a) significa “não p ou q ou a”. Da mesma forma, (q vee neg p vee r) significa “q ou não p ou r”. A bicondicional ( Leftrightarrow) entre elas quer dizer que as duas expressões têm o mesmo valor lógico: ambas são verdadeiras ou ambas são falsas.

Passo 3

Para saber quando a bicondicional é verdadeira, precisamos que ambas as expressões sejam verdadeiras ou ambas sejam falsas ao mesmo tempo. Vamos analisar os possíveis valores de verdade para p, q, a e r.

Passo 4

Como temos várias variáveis envolvidas, a melhor maneira de proceder é construir uma tabela verdade. Nela, vamos listar todas as combinações possíveis de valores para p, q, a e r, e calcular o valor de cada expressão.

Passo 5

Vamos montar a tabela verdade:
p q a r neg p neg p vee q vee a q vee neg p vee r (neg p vee q vee a) Leftrightarrow (q vee neg p vee r)
V V V V F V V V
V V V F F V V V
V V F V F V V V
V V F F F V V V
V F V V F V V V
V F V F F V F F
V F F V F F V F
V F F F F F F V
F V V V V V V V
F V V F V V V V
F V F V V V V V
F V F F V V V V
F F V V V V V V
F F V F V V V V
F F F V V V V V
F F F F V V V V
(V = Verdadeiro, F = Falso)

Passo 6

Analisando a última coluna da tabela, vemos que a bicondicional (neg p vee q vee a) Leftrightarrow (q vee neg p vee r) é verdadeira em todas as situações, exceto nas linhas 6 e 7, onde ela é falsa. No entanto, essas são apenas duas das dezesseis possíveis combinações. Isso significa que, na maioria dos casos, as duas expressões têm o mesmo valor lógico.

Passo 7

Porém, para que a bicondicional seja uma equivalência lógica válida sempre, ela teria que ser verdadeira em todas as linhas da tabela verdade. Como não é o caso aqui, concluímos que as duas expressões não são logicamente equivalentes em geral.

Resposta

As expressões (neg p vee q vee a) e (q vee neg p vee r) não são logicamente equivalentes em todas as situações.

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