(a) Calcule as colunas de na forma e verifique que cada coluna de é uma combinação da forma , onde são as colunas de .
(b) Calcule as linhas de na forma e verifique que cada linha de é uma combinação da forma , onde. Justifique que isto sempre acontece assim.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe fala sobre multiplicação de matrizes, especificamente sobre como calcular as colunas e linhas do produto de duas matrizes e . Vamos usar conceitos de combinação linear para entender como cada coluna e linha de é formada a partir das colunas de e das linhas de . Para resolver isso, vamos precisar lembrar como funciona a multiplicação de matrizes e o que são combinações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as colunas de . Lembre-se que é uma matriz onde cada coluna é o resultado da multiplicação de pela respectiva coluna de . Ou seja, se é a -ésima coluna de , então a -ésima coluna de é .
Passo 3
Vamos supor que é uma matriz e é uma matriz . Cada coluna de será uma combinação linear das colunas de . Isso significa que podemos escrever:
onde são as colunas de e são os coeficientes dessa combinação linear.
Passo 4
Para verificar isso, vamos multiplicar pela coluna . Suponha que:
Então:
= r C1(A) + s C2(A) + t C3(A)
onde , , e .
Passo 5
Agora, vamos fazer o mesmo para as linhas de Li(A) B = r L1(B) + s L2(B) + t L3(B) . Cada linha de é o resultado da multiplicação da respectiva linha de pela matriz . Se é a -ésima linha de , então:
onde são as linhas de e são os coeficientes dessa combinação linear.
Passo 6
Para justificar por que isso sempre acontece, precisamos lembrar que na multiplicação de matrizes, cada elemento do produto é uma soma de produtos dos elementos correspondentes das linhas de e das colunas de . Isso naturalmente leva a uma combinação linear das colunas de quando calculamos as colunas de , e das linhas de quando calculamos as linhas de . Portanto, cada coluna (ou linha) de é sempre uma combinação linear das colunas de (ou das linhas de ).
Resposta
Portanto, mostramos que cada coluna de é uma combinação linear das colunas de e que cada linha de é uma combinação linear das linhas de . Isso confirma que na multiplicação de matrizes, as colunas e linhas do produto são combinações lineares das colunas de e das linhas de , respectivamente.