l x-y=b1-a1 y-z=b2-a2 z-w=b3-a3 x-w=a4-b4
onde a1, a2, a3, a4, b1, b2, b3 e b4 são parâmetros reais. Qual a relação entre os parâmetros de forma que o sistema seja :
(a) SPD
(b) SPI
© SI

Passo 1

Beleza! Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações com quatro variáveis l x - y = b1 - a1 y - z = b2 - a2 z - w = b3 - a3 x - w = a4 - b4 , , e :
O que queremos descobrir são as relações entre os parâmetros e para que o sistema seja:
(a) SPD (Sistema Possível e Determinado)
(b) SPI (Sistema Possível e Indeterminado)
© SI (Sistema Impossível)
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sistemas lineares e como verificar se eles têm solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar o sistema. Olha só como as equações estão relacionadas:
  1. (y + (b1 - a1)) - w = a4 - b4
  2. (z + (b2 - a2) + (b1 - a1)) - w = a4 - b4
  3. (w + (b3 - a3) + (b2 - a2) + (b1 - a1)) - w = a4 - b4
  4. b1 - a1 + b2 - a2 + b3 - a3 = a4 - b4
Podemos resolver essas equações uma de cada vez para expressar cada variável em termos das outras. Vamos começar isolando da primeira equação:
Agora, substituímos da segunda equação:
E assim por diante:
Finalmente, substituímos na quarta equação usando a expressão que encontramos:
Substituindo e e , temos:

Passo 3

Agora, chegamos a uma condição que relaciona todos os parâmetros:
(b1 - a1) + (b2 - a2) + (b3 - a3) = a4 - b4
Essa equação precisa ser satisfeita para que o sistema tenha soluções. Vamos analisar o que isso significa para cada caso solicitado:
(a) SPD (Sistema Possível e Determinado):
O sistema tem uma única solução se as equações são independentes e a condição acima é satisfeita.
(b) SPI (Sistema Possível e Indeterminado):
O sistema tem infinitas soluções se as equações não são todas independentes, mas a condição acima ainda é satisfeita.
© SI (Sistema Impossível):
O sistema não tem solução se a condição acima não for satisfeita.

Passo 4

Vamos formalizar as condições:
(a) SPD (Sistema Possível e Determinado):
Para que o sistema tenha uma única solução, as equações precisam ser independentes e a soma dos parâmetros deve satisfazer:
b1 - a1 + b2 - a2 + b3 - a3 = a4 - b4
(b) SPI (Sistema Possível e Indeterminado):
O sistema terá infinitas soluções se a condição acima for satisfeita, mas as equações não forem todas independentes. Isso geralmente ocorre quando há uma redundância nas equações.
© SI (Sistema Impossível):
Se a condição:
b1 - a1 + b2 - a2 + b3 - a3 neq a4 - b4
Então, o sistema não tem solução.

Resposta

A relação entre os parâmetros para que o sistema seja:
(a) SPD (Sistema Possível e Determinado):
(b) SPI (Sistema Possível e Indeterminado):
, com as equações não sendo todas independentes.
© SI (Sistema Impossível):

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