Beleza! Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações com quatro variáveis l x - y = b1 - a1 y - z = b2 - a2 z - w = b3 - a3 x - w = a4 - b4 , , e :
O que queremos descobrir são as relações entre os parâmetros e para que o sistema seja:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sistemas lineares e como verificar se eles têm solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar o sistema. Olha só como as equações estão relacionadas:
(y + (b1 - a1)) - w = a4 - b4
(z + (b2 - a2) + (b1 - a1)) - w = a4 - b4
(w + (b3 - a3) + (b2 - a2) + (b1 - a1)) - w = a4 - b4
b1 - a1 + b2 - a2 + b3 - a3 = a4 - b4
Podemos resolver essas equações uma de cada vez para expressar cada variável em termos das outras. Vamos começar isolando da primeira equação:
Agora, substituímos da segunda equação:
E assim por diante:
Finalmente, substituímos na quarta equação usando a expressão que encontramos:
Substituindo e e , temos:
Passo 3
Agora, chegamos a uma condição que relaciona todos os parâmetros:
(b1 - a1) + (b2 - a2) + (b3 - a3) = a4 - b4
Essa equação precisa ser satisfeita para que o sistema tenha soluções. Vamos analisar o que isso significa para cada caso solicitado:
(a) SPD (Sistema Possível e Determinado):
O sistema tem uma única solução se as equações são independentes e a condição acima é satisfeita.
(b) SPI (Sistema Possível e Indeterminado):
O sistema tem infinitas soluções se as equações não são todas independentes, mas a condição acima ainda é satisfeita.
(a) SPD (Sistema Possível e Determinado):
Para que o sistema tenha uma única solução, as equações precisam ser independentes e a soma dos parâmetros deve satisfazer:
b1 - a1 + b2 - a2 + b3 - a3 = a4 - b4
(b) SPI (Sistema Possível e Indeterminado):
O sistema terá infinitas soluções se a condição acima for satisfeita, mas as equações não forem todas independentes. Isso geralmente ocorre quando há uma redundância nas equações.