(a) Determine X em função de A e C.
(b) Calcule X, se A=C=[ccc1 & 0 & 1 -6 & 2 & 3 -1 & -1 & -3].

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente precisa aqui. A questão pede para a gente encontrar a matriz em função das matrizes e , e depois calcular com matrizes específicas. Vamos usar álgebra linear, especialmente o conceito de matriz inversa, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar que temos a equação . Nosso objetivo é isolar . Para isso, precisamos “desfazer” a multiplicação por .

Passo 3

Na álgebra de matrizes, para “desfazer” a multiplicação por A^-1 times A times X = A^-1 times C , usamos a matriz inversa de , que é . Multiplicando os dois lados da equação por , temos:

Passo 4

Sabemos que I times X = A^-1 times C é a matriz identidade , porque qualquer matriz multiplicada pela sua inversa resulta na identidade. Então, a equação fica:

Passo 5

Multiplicar qualquer matriz pela identidade X = A^-1 times C não muda a matriz. Ou seja, . Portanto, chegamos à expressão para :

Passo 6

Agora, vamos para a segunda parte da questão, onde precisamos calcular A = C = 1 & 0 & 1 -6 & 2 & 3 -1 & -1 & -3 usando as matrizes específicas fornecidas:

Passo 7

Primeiro, precisamos calcular a inversa de , ou seja, . Para matrizes 3x3, a inversa pode ser calculada usando a fórmula que envolve a matriz adjunta e o determinante de .

Passo 8

Vamos calcular o determinante de det(A) = 1 times (2 times (-3) - 3 times (-1)) - 0 times (-6 times (-3) - 3 times (-1)) + 1 times (-6 times (-1) - 2 times (-1)) . Seja:
det(A) = 1 times (-6 + 3) - 0 + 1 times (6 + 2) = 1 times (-3) + 1 times 8 = -3 + 8 = 5

Passo 9

Como o determinante de é diferente de zero ( ), a matriz é inversível. Agora, vamos encontrar a matriz adjunta de e, em seguida, .

Passo 10

Após calcular a adjunta de A^-1 = 1det(A) times adj(A) = 15 times -3 & 3 & 3 3 & -4 & -2 3 & -2 & -2 , encontramos:
A^-1 = -0.6 & 0.6 & 0.6 0.6 & -0.8 & -0.4 0.6 & -0.4 & -0.4

Passo 11

Agora, multiplicamos X = A^-1 times C = -0.6 & 0.6 & 0.6 0.6 & -0.8 & -0.4 0.6 & -0.4 & -0.4 times 1 & 0 & 1 -6 & 2 & 3 -1 & -1 & -3 por :

Passo 12

Fazendo as multiplicações das matrizes:
X = (-0.6 times 1) + (0.6 times -6) + (0.6 times -1) & (-0.6 times 0) + (0.6 times 2) + (0.6 times -1) & (-0.6 times 1) + (0.6 times 3) + (0.6 times -3) (0.6 times 1) + (-0.8 times -6) + (-0.4 times -1) & (0.6 times 0) + (-0.8 times 2) + (-0.4 times -1) & (0.6 times 1) + (-0.8 times 3) + (-0.4 times -3) (0.6 times 1) + (-0.4 times -6) + (-0.4 times -1) & (0.6 times 0) + (-0.4 times 2) + (-0.4 times -1) & (0.6 times 1) + (-0.4 times 3) + (-0.4 times -3)
X = -0.6 - 3.6 - 0.6 & 0 + 1.2 - 0.6 & -0.6 + 1.8 - 1.8 0.6 + 4.8 + 0.4 & 0 -1.6 + 0.4 & 0.6 -2.4 + 1.2 0.6 + 2.4 + 0.4 & 0 -0.8 + 0.4 & 0.6 -1.2 + 1.2
X = -4.8 & 0.6 & -0.6 5.8 & -1.2 & -0.6 3.4 & -0.4 & 0.6

Resposta

A matriz X = -4.8 & 0.6 & -0.6 5.8 & -1.2 & -0.6 3.4 & -0.4 & 0.6 é:

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A cdot adj(A)=[bi j], onde bi j=sumk ai k Cj k
Na diagonal, bi i=ai 1 Ci 1+cdots+ai n Cj n=det A. Para i neq j, ou seja, fora da diagonal, temos bi j=ai 1 Cj 1+cdots+ai n Cj n=0. Portanto:
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logo,
A^-1=-112[ccc 4 & 2 & -2 4 & -1 & 1 -20 & -10 & -2 ]
(a) A B X=C
(b) A X^2 C=A X B C
© A X^-1=C A
(d) A X^t B=A B-I, calcule X, sendo A=[ll2 & 5 2 & 4], B=[ll-1 & 1 -1 & 2].
(a) Calcule as colunas de A B na forma A Ci(B), i=1,2,3 e verifique que cada coluna de A B é uma combinação da forma r C1(A)+s C2(A)+t C3(A), onde Ci(A) são as colunas de A.
(b) Calcule as linhas de A B na forma Li(A) B, i=1,2,3 e verifique que cada linha de A B é uma combinação da forma r L1(B)+s L2(B)+t L3(B), onde. Justifique que isto sempre acontece assim.
l x-y=b1-a1 y-z=b2-a2 z-w=b3-a3 x-w=a4-b4
onde a1, a2, a3, a4, b1, b2, b3 e b4 são parâmetros reais. Qual a relação entre os parâmetros de forma que o sistema seja :
(a) SPD
(b) SPI
© SI