Calcule a divergência dos seguintes campos vetoriais:
& (3 x^2-y+z) i+cos y j-e^z k & x^2 i+y^2 j-z^2 k

Passo 1

Beleza, vamos calcular a divergência dos campos vetoriais que você me enviou. A divergência é uma ferramenta do cálculo vetorial que nos ajuda a entender como um campo está “se expandindo” ou “se contraindo” em cada ponto do espaço. Para resolver isso, a gente vai precisar lembrar da fórmula da divergência e aplicar aos campos que você forneceu.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de divergência. Se tivermos um campo vetorial geral dado por:
F = P,i + Q,j + R,k
A divergência de F é calculada assim:
nabla cdot F = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z
Ou seja, a divergência é a soma das derivadas parciais das componentes P, Q e R em relação às suas respectivas variáveis.

Passo 3

Vamos começar calculando a divergência do primeiro campo vetorial:
F1 = (3 x^2 - y + z) i + cos y j - e^z k
Aqui, identificamos:
  • P = 3x^2 - y + z
  • Q = cos y
  • R = -e^z
Agora, vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada de P em relação a x:
    partial Ppartial x = partialpartial x (3x^2 - y + z) = 6x
  2. Derivada de Q em relação a y:
    partial Qpartial y = partialpartial y (cos y) = -sin y
  3. Derivada de R em relação a z:
    partial Rpartial z = partialpartial z (-e^z) = -e^z
Agora, somamos essas derivadas para encontrar a divergência:
nabla cdot F1 = 6x - sin y - e^z

Passo 4

Agora, vamos calcular a divergência do segundo campo vetorial:
F2 = x^2 i + y^2 j - z^2 k
Aqui, identificamos:
  • P = x^2
  • Q = y^2
  • R = -z^2
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada de P em relação a x:
    partial Ppartial x = partialpartial x (x^2) = 2x
  2. Derivada de Q em relação a y:
    partial Qpartial y = partialpartial y (y^2) = 2y
  3. Derivada de R em relação a z:
    partial Rpartial z = partialpartial z (-z^2) = -2z
Agora, somamos essas derivadas para encontrar a divergência:
nabla cdot F2 = 2x + 2y - 2z

Resposta

A divergência dos campos vetoriais fornecidos é:
  • Para o primeiro campo vetorial:
    nabla cdot F1 = 6x - sin y - e^z
  • Para o segundo campo vetorial:
    nabla cdot F2 = 2x + 2y - 2z

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