Calcule o comprimento da curva. (a)
Passo 1
Beleza, vamos calcular o comprimento da curva dada pelas funções paramétricas
e
no intervalo de
que vai de 0 até
.
Aqui, vamos usar o conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente a fórmula para o comprimento de uma curva parametrizada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva parametrizada por
:
Aqui,
e
são as derivadas das funções
e
em relação a
, e
é o intervalo de
dado no problema.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
e
:
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento:
Simplificando dentro da raiz:
Então:
Passo 5
Podemos fatorar o 36 dentro da raiz:
Simplificando ainda mais a expressão dentro da raiz:
Então:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral. Para isso, fazemos uma substituição:
Seja
, então
ou
.
Substituindo na integral:
Passo 7
Calculamos os limites de integração:
Primeiro, calculamos
:
Então:
E:
Portanto:
Passo 8
Agora, resolvemos a integral:
Calculando
:
Então:
Resposta
O comprimento da curva é aproximadamente 0.002412 unidades.
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