Calcule o comprimento da curva. (a) x = 1 + 3 t^2, y = 4 + 2 t^3, 0 <= t <= 1.4 raiz(2) - 2

Passo 1

Beleza, vamos calcular o comprimento da curva dada pelas funções paramétricas e no intervalo de que vai de 0 até .
Aqui, vamos usar o conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente a fórmula para o comprimento de uma curva parametrizada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva parametrizada por :
Aqui, e são as derivadas das funções e em relação a , e é o intervalo de dado no problema.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e :

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento:
Simplificando dentro da raiz:
Então:

Passo 5

Podemos fatorar o 36 dentro da raiz:
Simplificando ainda mais a expressão dentro da raiz:
Então:

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral. Para isso, fazemos uma substituição:
Seja , então ou .
Substituindo na integral:

Passo 7

Calculamos os limites de integração:
Primeiro, calculamos :
Então:
E:
Portanto:

Passo 8

Agora, resolvemos a integral:
Calculando :
Então:

Resposta

O comprimento da curva é aproximadamente 0.002412 unidades.

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