Calcule com sendo o quadrado de vértices e percorrido uma vez na direção anti-horária.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral de linha , onde é um quadrado com vértices em , , e , percorrido uma vez na direção anti-horária. A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, especificamente integrais de linha. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a curva e aplicar conceitos de integração em caminhos fechados.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a curva . Ela é um quadrado no plano com vértices nos pontos dados, formando um losango. Percorrê-lo na direção anti-horária significa que começamos em , vamos para , depois para , seguido de e voltamos para .

Passo 3

Vamos analisar o denominador da função que estamos integrando: . No quadrado , ao longo de cada lado, a soma é sempre igual a 1. Por exemplo, no lado de a , temos que diminui de 1 a 0 e aumenta de 0 a 1, mantendo .

Passo 4

Com isso, a integral fica mais simples, já que o denominador é constante e igual a 1 em toda a curva . Portanto, a integral se reduz a:

Passo 5

Agora, precisamos calcular e separadamente. Lembre-se que, para uma curva fechada (ou seja, que começa e termina no mesmo ponto), a integral de uma derivada total como ou ao longo de todo o caminho é zero. Isso ocorre porque as variações positivas e negativas se cancelam.

Passo 6

Aplicando isso à nossa integral:

Passo 7

Portanto, somando as duas integrais:

Resposta

A integral vale 0.

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