Calcule
com
sendo o quadrado de vértices
e
percorrido uma vez na direção anti-horária.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral de linha
, onde
é um quadrado com vértices em
,
,
e
, percorrido uma vez na direção anti-horária. A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, especificamente integrais de linha. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a curva
e aplicar conceitos de integração em caminhos fechados.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a curva
. Ela é um quadrado no plano com vértices nos pontos dados, formando um losango. Percorrê-lo na direção anti-horária significa que começamos em
, vamos para
, depois para
, seguido de
e voltamos para
.
Passo 3
Vamos analisar o denominador da função que estamos integrando:
. No quadrado
, ao longo de cada lado, a soma
é sempre igual a 1. Por exemplo, no lado de
a
, temos que
diminui de 1 a 0 e
aumenta de 0 a 1, mantendo
.
Passo 4
Com isso, a integral fica mais simples, já que o denominador é constante e igual a 1 em toda a curva
. Portanto, a integral se reduz a:
Passo 5
Agora, precisamos calcular
e
separadamente. Lembre-se que, para uma curva fechada (ou seja, que começa e termina no mesmo ponto), a integral de uma derivada total como
ou
ao longo de todo o caminho é zero. Isso ocorre porque as variações positivas e negativas se cancelam.
Passo 6
Aplicando isso à nossa integral:
Passo 7
Portanto, somando as duas integrais:
Resposta
A integral
vale 0.
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