Calcule o comprimento de um tubo liso de diâmetro interno igual a 3 in, necessário para elevar a temperatura de um óleo leve, de 288,7 K para 310,93 K, sabendo-se que a temperatura da parede é mantida constante igual a 368,48 K e que a velocidade média do fluido é igual a 30 ft / s. Considere: rho=884,2 Kg / m^3, C p=1908,2 J / KgK, mu=0,49 Kg / ms, Pr =6517, k=0,145 W / mK.
Resp. L=14.077 m.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de transferência de calor em fluidos. A gente precisa calcular o comprimento de um tubo que vai aquecer um óleo leve de uma temperatura inicial para uma temperatura final, mantendo a parede do tubo numa temperatura constante. Pra resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor por convecção e equações de fluxo de calor. Precisaremos das propriedades do fluido fornecidas, como densidade ( rho), capacidade calorífica ( Cp), viscosidade ( mu), número de Prandtl (Pr) e a condutividade térmica ( k).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. O óleo entra no tubo a 288,7 K e precisa sair a 310,93 K. A parede do tubo está quente, a 368,48 K, o que vai transferir calor para o óleo. A velocidade média do óleo é de 30 ft/s, e queremos saber quanto desse tubo é necessário para que o óleo atinja a temperatura desejada.

Passo 3

Vamos usar a equação de transferência de calor para fluidos em escoamento, que relaciona a taxa de transferência de calor com as propriedades do fluido e as condições do fluxo. A equação básica é:
q = dotm Cp De
Onde:
  • q é a taxa de transferência de calor,
  • dotm é a massa por unidade de tempo,
  • Cp é a capacidade calorífica a pressão constante,
  • De é a variação de temperatura.

Passo 4

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos.
  • Diâmetro interno do tubo: 3 in = 0,0762 m
  • Velocidade do fluido: 30 ft/s = 9,144 m/s

Passo 5

Agora, vamos calcular a área da seção transversal do tubo:
A = pi D^24 = pi (0,0762)^24 approx 0,00456 m^2
Onde D é o diâmetro interno.

Passo 6

Calculamos o fluxo volumétrico ( dotV):
dotV = A cdot v = 0,00456 m^2 times 9,144 m/s approx 0,04166 m^3/s
Onde v é a velocidade do fluido.

Passo 7

A massa por unidade de tempo ( dotm) é dada por:
dotm = rho cdot dotV = 884,2 Kg/m^3 times 0,04166 m^3/s approx 36,83 Kg/s

Passo 8

Agora, a variação de temperatura ( De) que o óleo precisa alcançar:
De

Passo 9

Vamos calcular a taxa de transferência de calor necessária:
q = dotm Cp De

Passo 10

Para relacionar a taxa de transferência de calor com a área superficial do tubo e a diferença de temperatura, usamos:
q = h cdot Asuperfície cdot (Tparede - Tmeio) í
Onde:
  • h é o coeficiente de transferência de calor por convecção,
  • Asuperfícieí é a área superficial do tubo,
  • Tparede é a temperatura da parede,
  • Tmeio é a temperatura média do óleo.

Passo 11

Precisamos calcular o coeficiente de transferência de calor h. Para isso, usamos a relação com o número de Nusselt (Nu) e as propriedades do fluido:
Nu = h Dk
Então,
h = Nu cdot kD

Passo 12

O número de Nusselt para escoamento interno pode ser estimado usando a correlação de Dittus-Boelter para turbulência, mas dado que temos o número de Prandtl (Pr), podemos usar a relação geral:
Nu = C cdot Re^m cdot Pr^n
Onde C, m, e n são constantes que dependem do regime de escoamento.
No entanto, o problema não fornece o número de Reynolds (Re), então vamos precisar calcular isso primeiro.

Passo 13

Calculamos o número de Reynolds (Re):
Re = rho v Dmu = 884,2 Kg/m^3 times 9,144 m/s times 0,0762 m0,49 Kg/(mcdots) approx 13.439

Passo 14

Com o número de Reynolds e o número de Prandtl dado (Pr = 6517), podemos estimar o número de Nusselt. Para fluxo interno turbulento, uma estimativa comum é usar a correlação de Dittus-Boelter:
Nu = 0,023 cdot Re^0,8 cdot Pr^0,4
Vamos calcular:
Nu = 0,023 cdot (13.439)^0,8 cdot (6517)^0,4 approx 0,023 cdot 102,5 cdot 37,85 approx 89,3

Passo 15

Agora, calculamos o coeficiente de transferência de calor h:
h = Nu cdot kD = 89,3 times 0,145 W/(mcdotK)0,0762 m approx 170,2 W/(m^2cdotK)

Passo 16

A área superficial do tubo ( Asuperfícieí) é:
Asuperfície = pi D L í
Onde L é o comprimento do tubo que queremos encontrar.

Passo 17

Reorganizando a equação da transferência de calor para encontrar L:
q = h cdot pi D L cdot (Tparede - Tmeio)
Resolvendo para L:
L = qh cdot pi D (Tparede - Tmeio)

Passo 18

Precisamos calcular Tmeio, a temperatura média do óleo. Podemos usar:
Tmeio = Tfinal + Tinicial2 = 310,93 + 288,72 = 299,815 K

Passo 19

Agora, substituímos todos os valores na equação para L:
L = 1.566.000 W170,2 W/(m^2cdotK) times pi times 0,0762 m times (368,48 K - 299,815 K)
Calculando a diferença de temperatura:
368,48 - 299,815 = 68,665 K

Passo 20

Agora, calculamos o denominador:
170,2 times pi times 0,0762 times 68,665 approx 170,2 times 3,1416 times 0,0762 times 68,665 approx 170,2 times 3,1416 times 5,220 approx 170,2 times 16,406 approx 2.790,3

Passo 21

Finalmente, calculamos L:
L = 1.566.0002.790,3 approx 561,2 m

Resposta

O comprimento necessário do tubo é aproximadamente 561,2 m.

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