(a) Calcule a corrente total na direção
que atravessa a superfície cônica
, por qualquer um dos lados do teorema de Stokes de sua preferência.
(b) Confira o resultado utilizando o outro lado do teorema de Stokes.
(b) Confira o resultado utilizando o outro lado do teorema de Stokes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a corrente total na direção
que atravessa uma superfície cônica com
, onde
varia de
a
e
varia de
a
. Para isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de superfície com uma integral de linha. Precisamos entender conceitos de cálculo vetorial, como campos vetoriais, integrais de superfície e o próprio Teorema de Stokes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele nos diz que a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial
sobre uma superfície
é igual à integral de linha de
ao longo da borda
de
. Em fórmulas:
Nesse caso, queremos calcular a corrente total na direção
, que podemos interpretar como a integral de superfície de um campo vetorial relacionado à corrente através da superfície cônica.
Passo 3
Vamos definir o campo vetorial
representando a densidade de corrente. Como a corrente está na direção
, temos:
Nosso objetivo é calcular a corrente total
, que é a integral de superfície de
sobre a superfície
:
Passo 4
Para aplicar o Teorema de Stokes, precisamos relacionar essa integral de superfície com uma integral de linha. Primeiro, vamos identificar a superfície
e sua borda
.
A superfície
é o cone com
,
e
. A borda
desse cone é o círculo no plano
,
.
Passo 5
Agora, vamos calcular o rotacional de
, ou seja,
. Em coordenadas esféricas, o rotacional de um campo vetorial geral
é dado por:
No nosso caso,
, então
,
e
. Substituindo na fórmula:
Passo 6
Agora que temos o rotacional de
, podemos aplicar o Teorema de Stokes:
Mas primeiro, precisamos expressar
na direção da superfície cônica. Em coordenadas esféricas, para uma superfície
,
é dado por:
No nosso caso, a superfície é um cone, então
não é constante. Para uma superfície geral em coordenadas esféricas,
envolve os componentes radiais e
.
No entanto, usando o Teorema de Stokes, podemos facilitar o cálculo transformando a integral de superfície em uma integral de linha.
Passo 7
Vamos calcular a integral de linha
. A borda
é o círculo no plano
,
.
Para essa curva, em coordenadas esféricas:
Mas como
, precisamos expressar
em termos das coordenadas da curva.
No entanto, como a corrente está na direção
, e na borda
,
é constante, a componente
é perpendicular à direção da curva, simplificando a integral.
Passo 8
Devido à simetria do problema, podemos considerar que
é constante sobre a superfície cônica. Assim, a integral de superfície se simplifica para:
A área de uma superfície cônica com ângulo
e raio
é:
onde
é a geratriz do cone. No nosso caso,
e
, então:
Portanto, a área é:
Passo 9
Substituindo na expressão da corrente total:
Assim, temos a expressão para a corrente total em função de
.
Resposta
A corrente total na direção
que atravessa a superfície cônica é: