(a) Calcule a corrente total na direção atheta que atravessa a superfície cônica theta=20^circ, 0 <= phi <= 2 pi, 0 <= r <= 5, por qualquer um dos lados do teorema de Stokes de sua preferência.
(b) Confira o resultado utilizando o outro lado do teorema de Stokes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a corrente total na direção atheta que atravessa uma superfície cônica com theta = 20^circ, onde phi varia de 0 a 2pi e r varia de 0 a 5. Para isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de superfície com uma integral de linha. Precisamos entender conceitos de cálculo vetorial, como campos vetoriais, integrais de superfície e o próprio Teorema de Stokes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele nos diz que a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial F sobre uma superfície S é igual à integral de linha de F ao longo da borda partial S de S. Em fórmulas:
integral duplaS (nabla times F) cdot dS = ointpartial S F cdot dr
Nesse caso, queremos calcular a corrente total na direção atheta, que podemos interpretar como a integral de superfície de um campo vetorial relacionado à corrente através da superfície cônica.

Passo 3

Vamos definir o campo vetorial J representando a densidade de corrente. Como a corrente está na direção atheta, temos:
J = Jtheta atheta
Nosso objetivo é calcular a corrente total I, que é a integral de superfície de J sobre a superfície S:
I = integral duplaS J cdot dS

Passo 4

Para aplicar o Teorema de Stokes, precisamos relacionar essa integral de superfície com uma integral de linha. Primeiro, vamos identificar a superfície S e sua borda partial S.
A superfície S é o cone com theta = 20^circ, 0 <= phi <= 2pi e 0 <= r <= 5. A borda partial S desse cone é o círculo no plano r = 5, theta = 20^circ.

Passo 5

Agora, vamos calcular o rotacional de J, ou seja, nabla times J. Em coordenadas esféricas, o rotacional de um campo vetorial geral F = Fr ar + Ftheta atheta + Fphi aphi é dado por:
nabla times F = 1r sin theta [ partialpartial theta (Fphi sin theta) - partial Fthetapartial phi ] ar + 1r [ 1sin theta partial Frpartial phi - partialpartial r (r Fphi) ] atheta + 1r [ partialpartial r (r Ftheta) - partial Frpartial theta ] aphi
No nosso caso, J = Jtheta atheta, então Fr = 0, Ftheta = Jtheta e Fphi = 0. Substituindo na fórmula:
nabla times J = 1r [ partialpartial r (r Jtheta) ] aphi

Passo 6

Agora que temos o rotacional de J, podemos aplicar o Teorema de Stokes:
I = integral duplaS J cdot dS = ointpartial S F cdot dr
Mas primeiro, precisamos expressar dS na direção da superfície cônica. Em coordenadas esféricas, para uma superfície r = constante, dS é dado por:
dS = r^2 sin theta , dtheta , dphi , ar
No nosso caso, a superfície é um cone, então theta não é constante. Para uma superfície geral em coordenadas esféricas, dS envolve os componentes radiais e theta.
No entanto, usando o Teorema de Stokes, podemos facilitar o cálculo transformando a integral de superfície em uma integral de linha.

Passo 7

Vamos calcular a integral de linha ointpartial S F cdot dr. A borda partial S é o círculo no plano r = 5, theta = 20^circ.
Para essa curva, em coordenadas esféricas:
dr = partial rpartial phi dphi = ( -r sin theta sin phi , ax + r sin theta cos phi , ay )
Mas como J = Jtheta atheta, precisamos expressar atheta em termos das coordenadas da curva.
No entanto, como a corrente está na direção atheta, e na borda partial S, theta é constante, a componente atheta é perpendicular à direção da curva, simplificando a integral.

Passo 8

Devido à simetria do problema, podemos considerar que Jtheta é constante sobre a superfície cônica. Assim, a integral de superfície se simplifica para:
I = Jtheta integral duplaS dS
A área de uma superfície cônica com ângulo theta e raio r é:
Área = 2pi r L Á
onde L é a geratriz do cone. No nosso caso, theta = 20^circ e r = 5, então:
L = rsin theta = 5sin 20^circ
Portanto, a área é:
Área = 2pi times 5 times 5sin 20^circ = 50pisin 20^circ Á

Passo 9

Substituindo na expressão da corrente total:
I = Jtheta times 50pisin 20^circ
Assim, temos a expressão para a corrente total em função de Jtheta.

Resposta

A corrente total na direção atheta que atravessa a superfície cônica é:
I = 50pi , Jthetasin 20^circ

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